Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Pour déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $a=1$, nous devons utiliser la formule classique : \[\] $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, ce qui donne ici $y = f'(1)(x-1) + f(1)$. \[\] **Étape 1 : Calcul de l'ordonnée $f(1)$.** \[\] La fonction est une somme de termes : $f(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^n$. \[\] En remplaçant $x$ par 1, chaque terme de $x^1$ à $x^n$ vaut 1, et il y a $(n+1)$ termes au total (en comptant le 1 initial, qui est $x^0$) : \[\] $f(1) = 1 + 1 + \dots + 1 = n+1$. \[\] **Étape 2 : Calcul du coefficient directeur $f'(1)$.** \[\] Dérivons la fonction polynomiale terme à terme : \[\] $f'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1}$. \[\] Évaluons cette dérivée en $x=1$ : \[\] $f'(1) = 1 + 2 + 3 + \dots + n$. \[\] On reconnaît la somme des $n$ premiers entiers naturels, dont la formule est bien connue : \[\] $f'(1) = \frac{n(n+1)}{2}$. \[\] **Étape 3 : Équation de la tangente.** \[\] Remplaçons les valeurs trouvées dans l'équation : \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}(x-1) + (n+1)$ \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}x - \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2}$ \[\] Factorisons la partie constante par $\frac{n+1}{2}$ : \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}x + \frac{n+1}{2}(-n + 2)$ \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}x - \frac{(n-2)(n+1)}{2}$. \[\] La proposition correcte est donc la première.

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Réponses

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