Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Pour évaluer la limite de la suite $U_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous sommes confrontés à une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$ sous la racine carrée. \[\] L'expression est : $U_n = \sqrt{\frac{3 \cdot 4^n}{4^n + 2}}$. \[\] Pour lever cette indétermination, la méthode standard consiste à factoriser par le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur, qui est ici l'exponentielle $4^n$. \[\] Factorisons le dénominateur par $4^n$ : \[\] $4^n + 2 = 4^n \left(1 + \frac{2}{4^n}\right)$. \[\] Remplaçons dans l'expression de $U_n$ et simplifions la fraction par $4^n$ : \[\] $U_n = \sqrt{\frac{3 \cdot 4^n}{4^n \left(1 + \frac{2}{4^n}\right)}} = \sqrt{\frac{3}{1 + \frac{2}{4^n}}}$. \[\] Passons maintenant à la limite. Puisque $4 > 1$, on a $\lim_{n\to+\infty} 4^n = +\infty$. \[\] Par conséquent, le quotient $\frac{2}{4^n}$ tend vers 0. \[\] Par composition des limites avec la fonction continue racine carrée : \[\] $\lim_{n\to+\infty} U_n = \sqrt{\frac{3}{1 + 0}} = \sqrt{3}$. \[\] La réponse correcte est bien $\sqrt{3}$.

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