Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Analysons méthodiquement chaque proposition pour débusquer l'affirmation correcte. \[\] **Proposition A :** Vérifions si la fonction $y(x) = e^{-2x} + 2e^{4x}$ satisfait les conditions initiales. \[\] Évaluons $y(0)$ : $y(0) = e^0 + 2e^0 = 1 + 2 = 3$. \[\] L'énoncé exige $y(0) = 1$. Puisque $3 \neq 1$, la proposition A est immédiatement éliminée sans même vérifier l'équation différentielle. \[\] **Propositions B et C :** Ces formules concernent la puissance d'un nombre complexe. La célèbre formule de Moivre stipule que : \[\] $(e^{i\theta})^m = (\cos\theta + i\sin\theta)^m = \cos(m\theta) + i\sin(m\theta)$. \[\] Les propositions B (qui propose $\theta^m$) et C (qui propose $m[\dots]$) contredisent fondamentalement cette identité algébrique. Elles sont fausses. \[\] **Propositions D et E :** Il s'agit d'identifier la nature de l'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant l'équation cartésienne : \[\] $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z + 3 = 0$. \[\] Mettons cette équation sous forme canonique en complétant les carrés : \[\] $(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 + 2z + 1) - 1 + 3 = 0$ \[\] $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 - 6 + 3 = 0$ \[\] $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 3$. \[\] Cette équation est de la forme $(x-x_\Omega)^2 + (y-y_\Omega)^2 + (z-z_\Omega)^2 = R^2$ avec $R^2 = 3 > 0$. \[\] Il s'agit indiscutablement de l'équation d'une sphère de centre $\Omega(1, -2, -1)$ et de rayon $R = \sqrt{3}$. \[\] La proposition D est donc vraie, ce qui rend logiquement la proposition E fausse.

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