Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Dans le plan complexe, l'angle orienté entre deux vecteurs $\overrightarrow{\Omega M}$ et $\overrightarrow{\Omega M'}$ est donné par l'argument du quotient de leurs affixes respectives : \[\] $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) \equiv \arg\left(\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right) [2\pi]$. \[\] Pour trouver cet angle, cherchons à exprimer la transformation de $M$ vers $M'$ sous la forme géométrique $z' - \omega = k \cdot e^{i\theta}(z - \omega)$. \[\] Remplaçons l'expression de $z'$ donnée par l'énoncé dans le numérateur : \[\] $z' - \omega = (1 + i\sqrt{3})z + i - \omega$. \[\] Sachant que $\omega = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, substituons cette valeur : \[\] $z' - \omega = (1 + i\sqrt{3})z + i - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = (1 + i\sqrt{3})z + i + \frac{\sqrt{3}}{3}$. \[\] L'astuce classique ici est de forcer la factorisation par $(1 + i\sqrt{3})$ pour faire apparaître le terme $(z - \omega)$ : \[\] Développons $(1 + i\sqrt{3})(-\omega)$ pour vérifier : \[\] $(1 + i\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + i\frac{3}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + i$. \[\] On constate avec joie que le terme constant correspond exactement à ce développement ! \[\] Ainsi, $z' - \omega = (1 + i\sqrt{3})z + (1 + i\sqrt{3})(-\omega) = (1 + i\sqrt{3})(z - \omega)$. \[\] On peut maintenant isoler le quotient : \[\] $\frac{z' - \omega}{z - \omega} = 1 + i\sqrt{3}$. \[\] L'angle cherché est donc l'argument de ce nombre complexe. Calculons son module : \[\] $|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. \[\] Et son argument $\theta$ vérifie $\cos\theta = 1/2$ et $\sin\theta = \sqrt{3}/2$, ce qui correspond à l'angle fondamental $\dfrac{\pi}{3}$. \[\] Une mesure de l'angle est bien $\dfrac{\pi}{3} [2\pi]$.

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