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Énoncé de la question
Soit $I_n = \dfrac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$. \[\] La valeur de la limite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Pour calculer la limite de $I_n$ en $+\infty$, réécrivons l'expression pour lever l'indétermination : \[\] $I_n = \frac{ne^{n+1}}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{n}{(n+1)^2} e^{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}$ \[\] On sait que $\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{(n+1)^2} = 0$, mais nous faisons face à une forme indéterminée de type $0 \times \infty$ avec le facteur $e^{n+1}$. \[\] Écrivons plutôt le premier terme ainsi : \[\] $I_n = \frac{n}{n^2(1+1/n)^2} e^{n+1} = \frac{1}{n(1+1/n)^2} e^{n+1}$ \[\] Par les théorèmes de croissances comparées, la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction puissance en l'infini, c'est-à-dire $\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{n+1}}{n} = +\infty$. \[\] Puisque le facteur multiplicatif $\frac{1}{(1+1/n)^2}$ tend vers 1, la limite globale du produit est $+\infty$. \[\] Le second terme $\frac{1}{(n+1)^2}$ tendant vers 0, on conclut par somme des limites : \[\] $\lim_{n\to+\infty} I_n = +\infty$.
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