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Énoncé de la question
Si $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de $y''+2y'+4y=0$, \[\] alors $g=2f$ est solution de :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Si $f$ est solution de l'équation différentielle $y''+2y'+4y=0$, alors on a l'égalité vraie : $f''+2f'+4f=0$. \[\] Considérons la fonction $g=2f$. Par les propriétés de la dérivation, on a : \[\] $g' = (2f)' = 2f'$ \[\] $g'' = (2f')' = 2f''$ \[\] Injectons $g$, $g'$ et $g''$ dans l'expression différentielle pour tester : \[\] $g''+2g'+4g = 2f'' + 2(2f') + 4(2f)$ \[\] On factorise par 2 : \[\] $= 2(f''+2f'+4f)$ \[\] Or, on sait que $f''+2f'+4f = 0$, donc : \[\] $g''+2g'+4g = 2 \times 0 = 0$ \[\] Donc $g$ vérifie exactement la même équation différentielle que $f$.
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$y''+2y'+4y=0$
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$y''+4y'+4y=0$
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