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Énoncé de la question
Dans $\mathbb{C}$, si $\arg(iz)\equiv\dfrac{7\pi}{6} [2\pi]$ et $|z|=\sqrt{2}$, \[\] alors la partie imaginaire de $z^3$ est égale à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Utilisons les propriétés de l'argument d'un produit : \[\] $\arg(iz) = \arg(i) + \arg(z) \equiv \dfrac{7\pi}{6} [2\pi]$ \[\] On sait que $\arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$. Donc : \[\] $\dfrac{\pi}{2} + \arg(z) \equiv \dfrac{7\pi}{6} [2\pi]$ \[\] Isolons $\arg(z)$ : \[\] $\arg(z) \equiv \dfrac{7\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{7\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$ \[\] On connaît maintenant le module et l'argument de $z$, donc $z = \sqrt{2} e^{i2\pi/3}$. \[\] Pour calculer $z^3$, utilisons la forme exponentielle : \[\] $z^3 = (\sqrt{2} e^{i2\pi/3})^3 = (\sqrt{2})^3 \times (e^{i2\pi/3})^3 = 2\sqrt{2} \times e^{i2\pi}$ \[\] Puisque $e^{i2\pi} = 1$, on a $z^3 = 2\sqrt{2}$. \[\] Le nombre $z^3$ est un réel pur, sa partie imaginaire est donc nulle : $Im(z^3)=0$.
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