Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc

Explication générale

On utilise le changement de variable en posant $u=x^2$. \[\] Pour les bornes : si $x=0$, alors $u=0$. Si $x=1$, alors $u=1$. \[\] Pour la différentielle : $du=2xdx$, ce qui donne $xdx = \frac{1}{2}du$. \[\] L'intégrale devient : \[\] $\int_{0}^{1}\frac{x}{1+e^{-x^2}}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{2} \frac{du}{1+e^{-u}}$ \[\] Multiplions le numérateur et le dénominateur par $e^u$ pour faire disparaître l'exposant négatif : \[\] $= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{e^u}{e^u(1+e^{-u})}du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{e^u}{e^u+1}du$ \[\] On reconnaît la forme $\frac{v'}{v}$ dont une primitive est $\ln|v|$. Ici $v(u) = e^u+1 > 0$. \[\] $= \frac{1}{2}\left[\ln(e^u+1)\right]_{0}^{1}$ \[\] Évaluons aux bornes : \[\] $= \frac{1}{2}(\ln(e^1+1) - \ln(e^0+1)) = \frac{1}{2}(\ln(e+1) - \ln(2))$ \[\] Par les propriétés du logarithme $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ et $n\ln(a) = \ln(a^n)$ : \[\] $= \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+e}{2}\right) = \ln\left[\left(\frac{1+e}{2}\right)^{1/2}\right] = \ln\sqrt{\frac{1+e}{2}}$

Ordre

Actif

Réponses

Bonne réponse

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