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Énoncé de la question
Soit $x\in\mathbb{R}^+$. \[\] Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}=2022$, alors $x$ est égal à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
On cherche la limite de $\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}$ en $+\infty$. \[\] Posons $u=\frac{x}{7n}$. Quand $n\to+\infty$, $u\to 0$. \[\] On utilise la limite de référence $\lim_{u\to 0} (1+u)^{1/u} = e$. \[\] Transformons l'expression pour faire apparaître cette forme : \[\] $\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n} = \left[\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{\frac{7n}{x}}\right]^{\frac{29x}{7}}$ \[\] Le terme entre crochets tend vers $e$. Donc l'expression globale tend vers $e^{\frac{29x}{7}}$. \[\] On applique la condition de l'énoncé : \[\] $e^{\frac{29x}{7}} = 2022$ \[\] On compose par la fonction $\ln$ : \[\] $\frac{29x}{7} = \ln 2022$ \[\] On isole $x$ : \[\] $x = \frac{7}{29}\ln 2022$
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$\dfrac{7}{29}\ln2022$
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$2022\ln\left(\dfrac{7}{29}\right)$
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$2022\ln\left(\dfrac{29}{7}\right)$
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$\dfrac{29}{7}\ln2022$
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