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Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire
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Énoncé de la question
On admet que $f$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, \[\] et que $f(1/2) = 1/2 - 3\ln(2)$ et $f(1) > 0$. \[\] L'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
La fonction $f$ est continue et strictement monotone (croissante) sur son domaine de définition. \[\] Pour prouver l'existence d'une racine unique (où $f(x) = 0$) sur un intervalle donné, il faut appliquer le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires). \[\] Évaluons $f$ aux bornes de l'intervalle $[1/2, 1]$ : \[\] * $f(1/2) = 1/2 - 3\ln(2)$. Puisque $\ln(2) \approx 0.69$, on a $3\ln(2) \approx 2.07$, donc $f(1/2) < 0$. \[\] * $f(1) > 0$ (par hypothèse de l'énoncé). \[\] Puisque la fonction passe d'une valeur strictement négative à une valeur strictement positive de façon continue et strictement croissante entre $x = 1/2$ et $x = 1$, elle coupe l'axe des abscisses exactement une fois. \[\] La solution unique se trouve donc dans l'intervalle ouvert $]1/2, 1[$.
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$]0,\frac{1}{2}[$
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