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Énoncé de la question
$f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f(2x-1)=x^2+3x$. \[\] Alors $f(1)+f'(1)$ est égal à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
On dispose de la relation : $f(2x-1) = x^2+3x$. \[\] Commençons par trouver $f(1)$. Pour cela, il faut que l'argument de $f$ soit égal à 1 : \[\] $2x-1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ \[\] Remplaçons $x$ par 1 dans l'équation initiale : \[\] $f(1) = 1^2 + 3(1) = 4$ \[\] Maintenant, cherchons $f'(1)$. Dérivons chaque membre de l'égalité initiale par rapport à $x$ (attention à la dérivation des fonctions composées $(f(u))' = u' \cdot f'(u)$) : \[\] $(2x-1)' \cdot f'(2x-1) = (x^2+3x)'$ \[\] $2 f'(2x-1) = 2x+3$ \[\] Pour évaluer $f'$ en 1, on pose à nouveau $x=1$ : \[\] $2 f'(1) = 2(1) + 3 = 5$ \[\] $f'(1) = \frac{5}{2}$ \[\] Finalement, calculons la somme demandée : \[\] $f(1) + f'(1) = 4 + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} + \frac{5}{2} = \frac{13}{2}$
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