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Énoncé de la question
L'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx$ est égale à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
On se rappelle l'identité trigonométrique du sinus de l'angle double : $\sin 2x = 2\sin x\cos x$. \[\] Posons le changement de variable $u = \sin^2 x$. \[\] La différentielle est $du = 2\sin x\cos x dx = \sin 2x dx$. \[\] Adaptions les bornes d'intégration : \[\] Si $x = 0$, $u = \sin^2(0) = 0$. \[\] Si $x = \pi/2$, $u = \sin^2(\pi/2) = 1^2 = 1$. \[\] L'intégrale devient une fonction rationnelle très simple : \[\] $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx = \int_0^1\frac{1}{1+u} du$ \[\] La primitive de $\frac{1}{1+u}$ est $\ln|1+u|$. \[\] $= \left[\ln(1+u)\right]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - 0 = \ln 2$
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