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Énoncé de la question
On considère la fonction $f_{n}$ telle que $f_{n}(x)=nxe^{-nx}$ avec $x\in\left[ 0,+\infty\right[ $ et $n\in\mathbb{N^{*}}$. \[\] Soit $(C_{n})$ la courbe de $f_{n}$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. \[\] Choisissez la réponse correcte :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Testons les différentes propositions en analysant la fonction $f_n$. \[\] Commençons par la limite en $+\infty$ : \[\] $\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x) = \lim_{x\to +\infty}\frac{nx}{e^{nx}}$ \[\] Si on pose le changement de variable $X = nx$, alors $X \to +\infty$. \[\] $\lim_{X\to +\infty}\frac{X}{e^X} = 0$, car par les théorèmes de croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance. \[\] Alors les propositions 1, 2 et 3 sont fausses, car la limite est 0. \[\] Calculons la dérivée $f'_n(x)$ en utilisant la formule d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x)=nx$ et $v(x)=e^{-nx}$ : \[\] $u'(x) = n$ \[\] $v'(x) = -ne^{-nx}$ \[\] $f_{n}^{'}(x) = n e^{-nx} + nx(-ne^{-nx}) = n e^{-nx} - n^2 x e^{-nx}$ \[\] En factorisant par $ne^{-nx}$ : \[\] $f_{n}^{'}(x) = ne^{-nx}(1 - nx)$ \[\] La proposition 4 indique $ne^{-nx}(nx-1)$, qui est l'opposé exact de la bonne dérivée. Elle est donc fausse. \[\] Par élimination, toutes les réponses proposées sont fausses.
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$\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x)=+\infty$
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$\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x)=-\infty$
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$\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x)=n$
Bonne réponse
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$f_{n}^{'}(x)=ne^{-nx}(nx-1)$
Bonne réponse
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toutes les réponses proposées sont fausses.
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