Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Le triangle central $EFD$ n'étant pas rectangle, son aire est difficile à calculer directement. \[\] Il est plus simple de soustraire à l'aire totale du carré les aires des trois triangles rectangles situés aux coins : $AED$, $BEF$ et $FCD$. \[\] L'aire du carré est : $1 \times 1 = 1$. \[\] Exprimons les longueurs des côtés des trois triangles extérieurs : \[\] $AB = 1$, donc $AE = 1-x$ (puisque $E\in[AB]$ et $BE=x$). \[\] $BC = 1$, donc $BF = 1-x$ (puisque $F\in[BC]$ et $CF=x$). \[\] $CD = 1$, $AD = 1$. \[\] Calculons leurs aires respectives : \[\] Aire($AED$) = $\frac{AD \times AE}{2} = \frac{1 \times (1-x)}{2} = \frac{1-x}{2}$ \[\] Aire($BEF$) = $\frac{BE \times BF}{2} = \frac{x(1-x)}{2}$ \[\] Aire($FCD$) = $\frac{CD \times CF}{2} = \frac{1 \times x}{2} = \frac{x}{2}$ \[\] L'aire du triangle intérieur est donc : \[\] Aire($EFD$) = $1 - \left(\frac{1-x}{2} + \frac{x-x^2}{2} + \frac{x}{2}\right)$ \[\] $= 1 - \frac{1 - x + x - x^2 + x}{2} = 1 - \frac{1 + x - x^2}{2}$ \[\] $= \frac{2 - (1 + x - x^2)}{2} = \frac{1 - x + x^2}{2}$ \[\] Pour trouver le minimum de cette fonction quadratique $f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)$, calculons sa dérivée : \[\] $f'(x) = \frac{1}{2}(2x - 1)$ \[\] On cherche où la dérivée s'annule : \[\] $\frac{2x - 1}{2} = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ \[\] La valeur de $x$ qui minimise l'aire est bien $1/2$.

Ordre

Actif

Réponses

Bonne réponse

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