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Énoncé de la question
La valeur de la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x+1}}{x}$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Pour lever l'indétermination en $+\infty$, la méthode la plus directe est de factoriser le terme dominant ($x^2$) à l'intérieur des racines carrées, puis de l'extraire. \[\] $\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x+1}}{x}$ \[\] Factorisons par $x^2$ dans la première racine : \[\] $\sqrt{2x^2+1} = \sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})} = x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}$ (car $x > 0$ en $+\infty$) \[\] Factorisons par $x^2$ dans la deuxième racine : \[\] $\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})} = x\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$ \[\] Réécrivons l'expression fractionnaire : \[\] $= \lim_{x\to+\infty} \frac{x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}} - x\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{x}$ \[\] Factorisons le numérateur par $x$ et simplifions avec le dénominateur : \[\] $= \lim_{x\to+\infty} \left( \sqrt{2+\frac{1}{x^2}} - \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} \right)$ \[\] En $+\infty$, les termes $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ tendent vers zéro : \[\] $= \sqrt{2+0} - \sqrt{0+0} = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$
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