Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

On a : $I_{n}=\int_{1}^{e}x^{n}\ln x dx \quad \big(n\in\mathbb{N}\big)$ \[\] Pour évaluer cette intégrale, il faut procéder à une intégration par parties. \[\] On pose pour cela : $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x^{n}$. \[\] On dérive $u$ et on intègre $v'$ : \[\] $u'(x) = \frac{1}{x}$ \[\] $v(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$ \[\] La formule d'intégration par parties donne : \[\] $I_{n} = \left[u(x)v(x)\right]_1^e - \int_{1}^{e} u'(x)v(x) dx$ \[\] $I_{n} = \left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{n+1}x^{n+1} dx$ \[\] Calculons le crochet aux bornes : \[\] $\left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\ln x\right]_{1}^{e} = \frac{1}{n+1}e^{n+1}\ln e - \frac{1}{n+1}1^{n+1}\ln 1 = \frac{e^{n+1}}{n+1} - 0$ \[\] Simplifions la deuxième intégrale : \[\] $\int_{1}^{e} \frac{1}{n+1}x^{n} dx = \frac{1}{n+1} \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_1^e = \frac{1}{(n+1)^2} \left( e^{n+1} - 1 \right)$ \[\] On assemble et on met au même dénominateur : \[\] $I_n = \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{e^{n+1} - 1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)e^{n+1} - e^{n+1} + 1}{(n+1)^2}$ \[\] $I_n = \frac{ne^{n+1} + e^{n+1} - e^{n+1} + 1}{(n+1)^2} = \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$

Ordre

Actif

Réponses

Bonne réponse

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