Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc

Explication générale

Pour analyser le comportement asymptotique de la fonction $h$, il faut séparer les cas en fonction du signe du paramètre $m$. \[\] **Cas où $m > 0$ :** \[\] Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, nous avons une forme indéterminée de type "$\infty - \infty$" puisque $x^m \to +\infty$ et $(\ln x)^2 \to +\infty$. \[\] On factorise par le terme dominant : \[\] $h(x) = x^m \left( 1 - \frac{(\ln x)^2}{x^m} \right)$ \[\] Par les théorèmes de croissances comparées, la fonction puissance l'emporte toujours sur le logarithme en l'infini. Donc $\lim_{x\to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x^m} = 0$. \[\] Ainsi, $\lim_{x\to +\infty} h(x) = +\infty(1 - 0) = +\infty$. \[\] La proposition 5 est donc exacte. \[\] **Cas où $m < 0$ :** \[\] En $+\infty$, $x^m$ tend vers $0$ (car l'exposant est négatif), et $-(\ln x)^2$ tend vers $-\infty$. La limite globale est $-\infty$. \[\] En $0^+$, $x^m$ tend vers $+\infty$ et $-(\ln x)^2$ tend vers $-\infty$. Il s'agit d'une indétermination complexe qui ne débouche pas sur une limite nulle de façon triviale. \[\] **Cas où $m = 0$ :** \[\] $h(x) = 1 - (\ln x)^2$. En $+\infty$, la limite est clairement $-\infty$.

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