Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc

Explication générale

Pour rechercher une asymptote oblique d'équation $y = ax + b$, on calcule d'abord le coefficient directeur $a = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$. \[\] $\frac{f(x)}{x} = \frac{x+\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}}{x} = 1 + \frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}$ \[\] En l'infini, $\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}$ tend vers 0. Donc $a = 1 + 0 = 1$. \[\] Ensuite, on calcule l'ordonnée à l'origine $b = \lim_{x\to+\infty} (f(x) - ax)$. \[\] $f(x) - x = \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$ \[\] Il s'agit d'une forme indéterminée de type "$\infty / \infty$". Pour la lever, on factorise par $x^2$ dans la racine au dénominateur : \[\] $\sqrt{1+2x^2} = \sqrt{x^2(\frac{1}{x^2}+2)} = x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}$ (car $x > 0$ au voisinage de $+\infty$) \[\] L'expression devient : \[\] $= \frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}$ \[\] On passe à la limite : \[\] $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}} = \frac{1}{\sqrt{0+2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ \[\] La valeur de $b$ est donc $\frac{1}{\sqrt{2}}$. \[\] L'équation de l'asymptote oblique est $y = x + \frac{1}{\sqrt{2}}$.

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