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Énoncé de la question
Soit $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $U_{0}=1$ et $(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_{n+1}=\frac{2U_{n}}{\sqrt{1+U_{n}^2}}$. \[\] On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : V_{n}=\frac{U_{n}^{2}}{3-U_{n}^{2}}$ \[\] $(V_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de raison :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Pour montrer que $(V_n)$ est géométrique, calculons $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ : \[\] $V_{n+1} = \frac{U_{n+1}^{2}}{3-U_{n+1}^{2}}$ \[\] On sait que $U_{n+1} = \frac{2U_n}{\sqrt{1+U_n^2}}$, donc en élevant au carré : $U_{n+1}^2 = \frac{4U_n^2}{1+U_n^2}$. \[\] Remplaçons cette expression dans $V_{n+1}$ : \[\] $V_{n+1} = \frac{\frac{4U_n^2}{1+U_n^2}}{3 - \frac{4U_n^2}{1+U_n^2}} = \frac{\frac{4U_n^2}{1+U_n^2}}{\frac{3(1+U_n^2) - 4U_n^2}{1+U_n^2}}$ \[\] En simplifiant par le dénominateur commun $(1+U_n^2)$ : \[\] $V_{n+1} = \frac{4U_n^2}{3 + 3U_n^2 - 4U_n^2} = \frac{4U_n^2}{3 - U_n^2}$ \[\] On peut factoriser par 4 pour faire apparaître $V_n$ : \[\] $V_{n+1} = 4 \left(\frac{U_n^2}{3 - U_n^2}\right) = 4V_n$ \[\] La suite $(V_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=4$.
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