Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Évaluons la première proposition trigonométrique : $S = \cos^2\frac{3\pi}{12} + \cos^2\frac{5\pi}{12} + \cos^2\frac{9\pi}{12} + \cos^2\frac{11\pi}{12}$. \[\] On remarque des symétries par rapport à $\pi$ : \[\] $\frac{9\pi}{12} = \pi - \frac{3\pi}{12}$. Or, $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, donc $\cos^2(\pi - x) = \cos^2(x)$. \[\] Ainsi, $\cos^2\frac{9\pi}{12} = \cos^2\frac{3\pi}{12}$. \[\] De même, $\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}$. Donc $\cos^2\frac{11\pi}{12} = \cos^2\frac{\pi}{12}$. \[\] Mais on remarque aussi que $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$. \[\] Or, $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$, donc $\cos^2\frac{5\pi}{12} = \sin^2\frac{\pi}{12}$. \[\] De même, $\frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$, donc $\cos^2\frac{3\pi}{12} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$. \[\] La somme devient : \[\] $S = \frac{1}{2} + \sin^2\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} + \cos^2\frac{\pi}{12}$. \[\] Puisque $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, on a : \[\] $S = 1 + 1 = 2$. \[\] L'affirmation proposant la somme égale à 3 est donc fausse. \[\] Soit $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$. L'affirmation 5 dit que la proposition $(g \circ f)' = f' \cdot g'(f)$ est FAUSSE. \[\] En effet, la formule standard est bien $f' \cdot (g' \circ f)$. \[\] Le centre de symétrie $I(2,0)$ pour $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$ nécessite $f(4-x)+f(x) = 0$. \[\] Testons avec $x=2$ : $f(2) = 8 - 24 + 18 - 2 = 0$. Le point $I(2,0)$ appartient à la courbe. \[\] $f(4-x) = (4-x)^3 - 6(4-x)^2 + 9(4-x) - 2$. En développant, on vérifie que cela donne bien $-f(x)$. Le point $I(2,0)$ est bien le centre de symétrie.

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