Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc

Explication générale

Pour trouver une relation de récurrence pour $I_n$, il faut procéder à une double intégration par parties. \[\] Calculons d'abord $I_0$ pour vérifier les propositions : \[\] $I_0 = 2\int_0^{\pi/4} \cos(x) dx = 2[\sin(x)]_0^{\pi/4} = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. La prop 1 est fausse. \[\] Exprimons $I_{n+2}$ : \[\] $I_{n+2} = 2\int_0^{\pi/4} x^{n+2}\cos(x) dx$. \[\] 1ère IPP ($u=x^{n+2}$, $v'=\cos x$) : \[\] $I_{n+2} = 2 \left[ x^{n+2}\sin x \right]_0^{\pi/4} - 2\int_0^{\pi/4} (n+2)x^{n+1}\sin x dx$ \[\] $= 2 \left( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+2} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 2(n+2)\int_0^{\pi/4} x^{n+1}\sin x dx$. \[\] 2ème IPP sur la nouvelle intégrale ($u=x^{n+1}$, $v'=\sin x \Rightarrow v=-\cos x$) : \[\] $\int_0^{\pi/4} x^{n+1}\sin x dx = \left[ -x^{n+1}\cos x \right]_0^{\pi/4} + \int_0^{\pi/4} (n+1)x^n\cos x dx$ \[\] $= -\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{n+1}{2} I_n$. \[\] On réinjecte ce résultat : \[\] $I_{n+2} = \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+2} + 2(n+2)\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{2} - (n+2)(n+1)I_n$. \[\] En simplifiant, on démontre que $I_{n+2} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+2} - (n+1)(n+2)I_n$. \[\] (Une simplification algébrique des termes de bord mène exactement à ce coefficient polynomial).

Ordre

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Réponses

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