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Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire
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Énoncé de la question
Dans le plan complexe, on considère les points $A(-i)$ et $B(i)$. \[\] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $\left|\dfrac{iz-1}{\bar{z}+i}\right|=1$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Travaillons l'égalité des modules : $\left|\frac{iz-1}{\bar{z}+i}\right|=1 \Rightarrow |iz-1| = |\bar{z}+i|$. \[\] Factorisons par $i$ dans le module de gauche (rappel : $|i| = 1$) : \[\] $|iz-1| = \left|i(z - \frac{1}{i})\right| = |i| \times |z + i| = 1 \times |z - (-i)| = MA$. \[\] Pour le module de droite, utilisons la propriété du conjugué : le module d'un complexe est égal au module de son conjugué. \[\] $|\bar{z}+i| = |\overline{\bar{z}+i}| = |z - i| = |z - (i)| = MB$. \[\] L'équation initiale se résume donc simplement à l'égalité géométrique : $MA = MB$. \[\] L'ensemble des points $M$ équidistants de deux points fixes $A$ et $B$ est, par définition, la médiatrice du segment $[AB]$. \[\] Comme le dénominateur $\bar{z}+i$ ne doit pas s'annuler, $\bar{z} \neq -i \Rightarrow z \neq i$. Le point $B(i)$ est exclu. \[\] La médiatrice privée du point $B$ est la réponse correcte.
Ordre
Actif
Réponses
+ Ajouter une réponse
Bonne réponse
Retirer
La médiatrice du segment $[AB]$
Bonne réponse
Retirer
La droite $(AB)$
Bonne réponse
Retirer
La droite $(AB)$ privée du point $B$
Bonne réponse
Retirer
Le cercle de diamètre $[AB]$
Bonne réponse
Retirer
La médiatrice du segment $[AB]$ privée du point $B$
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