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Énoncé de la question
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par : $u_0=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_{n}^{2}+u_n$. \[\] La limite de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ (si elle existe) est égale à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Étudions la monotonie de la suite en calculant la différence entre deux termes consécutifs : \[\] $u_{n+1} - u_n = (u_n^2 + u_n) - u_n = u_n^2$. \[\] Puisque le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul, $u_{n+1} - u_n \geq 0$. La suite est donc croissante. \[\] Comme $u_0 = 1 > 0$, tous les termes sont strictement positifs ($u_n \geq 1$). \[\] Supposons que la suite converge vers une limite finie $\ell$. Étant définie par une fonction continue $f(x) = x^2+x$, cette limite doit être une solution de l'équation point fixe : $\ell = f(\ell)$. \[\] $\ell = \ell^2 + \ell \Rightarrow \ell^2 = 0 \Rightarrow \ell = 0$. \[\] Or, nous savons que la suite est croissante et commence à 1, ce qui implique que pour tout $n$, $u_n \geq 1$. \[\] Il est impossible qu'une suite minorée par 1 converge vers 0. \[\] La supposition de départ est donc fausse : la suite ne converge pas vers un réel. Étant croissante et non majorée, sa limite est $+\infty$.
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