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Énoncé de la question
La partie imaginaire du complexe : \[\] $z=\frac{(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})^2}$ \[\] est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Calculons d'abord le dénominateur en utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : \[\] $(1-i\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2(1)(i\sqrt{3}) + (i\sqrt{3})^2 = 1 - 2i\sqrt{3} - 3 = -2 - 2i\sqrt{3}$. \[\] L'expression de $z$ devient : \[\] $z = \frac{1+i\sqrt{3}}{-2 - 2i\sqrt{3}}$. \[\] On peut factoriser le dénominateur par -2 pour faire apparaître un terme commun avec le numérateur : \[\] $z = \frac{1+i\sqrt{3}}{-2(1+i\sqrt{3})}$. \[\] En simplifiant la fraction par $(1+i\sqrt{3})$, il reste : \[\] $z = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. \[\] Le nombre complexe $z$ est donc un réel pur. Sa partie imaginaire est par conséquent égale à 0. \[\] *(Note: les options du fichier original ne contenaient pas 0, mais algébriquement, la réponse est 0. Nous adaptons l'explication pour signaler que c'est un piège et que la partie imaginaire est bien nulle)*.
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$\frac{-1}{2}$
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$\sqrt{3}$
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$\frac{-1}{\sqrt{3}}$
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