Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc

Explication générale

Simplifions d'abord la fonction à intégrer. On sait que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. \[\] Remplaçons $\tan x$ au dénominateur : \[\] $\frac{1}{\sin x \tan x} = \frac{1}{\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1}{\frac{\sin^2 x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin^2 x}$. \[\] Cette expression est de la forme $\frac{u'(x)}{(u(x))^2}$, avec $u(x) = \sin x$ et $u'(x) = \cos x$. \[\] La primitive d'une fonction de cette forme est $-\frac{1}{u(x)}$. \[\] Donc la primitive est $F(x) = -\frac{1}{\sin x}$. \[\] Il ne reste plus qu'à évaluer cette primitive entre les bornes $\pi/6$ et $\pi/4$ : \[\] $\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \left[ -\frac{1}{\sin x} \right]_{\pi/6}^{\pi/4}$ \[\] $= -\frac{1}{\sin(\pi/4)} - \left( -\frac{1}{\sin(\pi/6)} \right)$. \[\] Sachant que $\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$ : \[\] $= -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{1}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} + 2 = -\sqrt{2} + 2$. \[\] Soit $2 - \sqrt{2}$. L'option 2 est correcte.

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