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Énoncé de la question
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par : $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2\sqrt{x}}}$. \[\] La limite $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)$ est égale à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
En $0^+$, le numérateur et le dénominateur tendent vers 0. C'est une forme indéterminée $0/0$. \[\] Pour lever cette indétermination, factorisons l'expression à l'intérieur de la racine au dénominateur par $x$ : \[\] $\sqrt{x+2\sqrt{x}} = \sqrt{x\left(1 + \frac{2\sqrt{x}}{x}\right)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{x}}}$. \[\] L'expression de la fonction devient : \[\] $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{x}}}}$. \[\] On peut simplifier par $\sqrt{x}$ (puisque $x > 0$) : \[\] $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{x}}}}$. \[\] Passons à la limite quand $x \to 0^+$ : \[\] Le terme $\frac{2}{\sqrt{x}}$ tend vers $+\infty$. \[\] L'expression sous la racine globale tend vers $+\infty$, et donc la racine elle-même tend vers $+\infty$. \[\] La limite de l'inverse est donc : $\frac{1}{+\infty} = 0$.
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$+\infty$
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$0$
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$1$
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$\dfrac{1}{2}$
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$f$ n'admet pas de limite en $0^+$
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