Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Analysons méthodiquement les propriétés de la fonction $f$ pour discriminer les propositions : \[\] **1. Continuité en 0 :** \[\] Limite à gauche : $\lim_{x\to 0^-} f(x) = e^0 = 1$. \[\] Limite à droite : $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \cos(0) = 1$. \[\] Puisque les limites à gauche et à droite existent et sont égales à l'image $f(0)$, la fonction est continue en 0. \[\] **2. Dérivabilité en 0 :** \[\] Dérivée à gauche : $f'_g(x) = e^x \Rightarrow f'_g(0) = 1$. \[\] Dérivée à droite : $f'_d(x) = -\sin(x) \Rightarrow f'_d(0) = 0$. \[\] Les dérivées à gauche et à droite n'étant pas égales ($1 \neq 0$), la fonction n'est pas dérivable en 0 (la courbe présente un point anguleux). \[\] **3. Résolution de l'équation $f(x)=0$ :** \[\] Pour $x < 0$, l'équation $e^x = 0$ n'admet aucune solution dans les réels car la fonction exponentielle est strictement positive. \[\] Pour $x \geq 0$, l'équation $\cos(x) = 0$ admet pour solutions les valeurs $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{N}$. \[\] Dans l'intervalle imposé par la proposition $]-\infty, \pi]$, seule la valeur $x = \frac{\pi}{2}$ appartient au domaine. \[\] L'équation possède donc une et une seule solution sur cet intervalle.

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