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Énoncé de la question
Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par : $g(x) = \dfrac{(2x)^x}{x^{2x}}$, pour tout $x>0$. \[\] La limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)$ est égale à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Simplifions d'abord l'expression de la fonction à l'aide des règles de calcul sur les puissances. \[\] $g(x) = \frac{(2x)^x}{x^{2x}} = \frac{2^x \cdot x^x}{(x^2)^x} = \frac{2^x \cdot x^x}{x^x \cdot x^x}$. \[\] En simplifiant par $x^x$ (qui est strictement positif pour $x>0$) : \[\] $g(x) = \frac{2^x}{x^x} = \left(\frac{2}{x}\right)^x$. \[\] Sous cette forme, la limite est beaucoup plus simple à évaluer. \[\] Lorsque $x \to +\infty$, la base de la puissance $\frac{2}{x}$ tend vers 0. \[\] L'exposant $x$ tend vers $+\infty$. \[\] Nous avons donc une limite de la forme $0^{+\infty}$, qui n'est pas une forme indéterminée. Une quantité infiniment petite élevée à une puissance infiniment grande tend fortement vers 0. \[\] Plus rigoureusement en passant par l'exponentielle : $g(x) = e^{x\ln(2/x)}$. \[\] En l'infini, $\ln(2/x) \to -\infty$. Donc $x\ln(2/x) \to +\infty \times -\infty = -\infty$. \[\] Ainsi, $g(x) \to e^{-\infty} = 0$.
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$+\infty$
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$g$ n'admet pas de limite en $+\infty$
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