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Énoncé de la question
Dans $\mathbb{C}$, l'ensemble des solutions de l'équation $\dfrac{2z-1}{z+1}=z$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Il faut d'abord poser la condition d'existence : le dénominateur ne doit pas s'annuler, donc $z \neq -1$. \[\] Multiplions les deux membres de l'équation par $(z+1)$ pour se ramener à une équation polynomiale : \[\] $2z - 1 = z(z + 1)$ \[\] $2z - 1 = z^2 + z$ \[\] Regroupons tous les termes du même côté pour former une équation du second degré : \[\] $z^2 + z - 2z + 1 = 0 \Rightarrow z^2 - z + 1 = 0$. \[\] Calculons le discriminant $\Delta$ : \[\] $\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. \[\] Le discriminant est négatif, l'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées : \[\] $z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \frac{-(-1) \pm i\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$. \[\] L'ensemble des solutions est donc bien $S = \left\{\frac{1+i\sqrt{3}}{2};\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right\}$.
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$\left\{-1;\dfrac{1}{2}\right\}$
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$\{1+i\sqrt{3}; 1-i\sqrt{3}\}$
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$\left\{\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\right\}$
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$\{i\sqrt{3}; -i\sqrt{3}\}$
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