Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

**Étape 1 : Probabilité d'un succès sur un tirage unique.** \[\] Appelons succès ($A$) l'événement : "Tirer 3 boules de 3 couleurs différentes". \[\] Le nombre total de tirages simultanés possibles est le cardinal de l'univers : \[\] $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$. \[\] Le nombre de cas favorables pour avoir une boule de chaque couleur est le produit des combinaisons indépendantes : \[\] $C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 = 5 \times 4 \times 3 = 60$. \[\] La probabilité d'un succès est donc : \[\] $p = P(A) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$. \[\] **Étape 2 : Loi Binomiale sur $n$ répétitions.** \[\] Puisque l'expérience est répétée $n$ fois de manière identique et indépendante (avec remise), la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. \[\] Nous cherchons la probabilité d'obtenir exactement $(n-1)$ succès : \[\] $P(X = n-1) = \binom{n}{n-1} p^{n-1} (1-p)^{n - (n-1)} = \binom{n}{n-1} p^{n-1} (1-p)^1$ \[\] Sachant que le coefficient binomial $\binom{n}{n-1} = n$ et que la probabilité d'échec est $(1-p) = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$ : \[\] $P(X = n-1) = n \left(\frac{3}{11}\right)^{n-1} \left(\frac{8}{11}\right)$ \[\] $= n \frac{3^{n-1}}{11^{n-1}} \frac{8}{11} = \frac{8n \times 3^{n-1}}{11^n}$.

Ordre

Actif

Réponses

Bonne réponse

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