Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

Analysons les propriétés de $f$ et $g$. \[\] **Étude de $f$ :** $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. Cette fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$. Son maximum est atteint en $x=0$ et vaut $f(0)=1$. Sa limite en $\pm\infty$ est 0. L'image de $\mathbb{R}$ par $f$ est donc l'intervalle $]0; 1]$. La proposition 1 est rigoureusement vraie. \[\] **Dérivée de $g$ :** La fonction $g$ est définie par une intégrale dont les deux bornes dépendent de $x$. \[\] Soit $F$ une primitive de $f$. On a $g(x) = F(x+1) - F(x)$. \[\] En dérivant : $g'(x) = F'(x+1)\cdot(x+1)' - F'(x)\cdot(x)' = f(x+1) - f(x)$. \[\] La proposition 3 dit $g'(x) = f(x) - f(x+1)$, le signe est inversé. Elle est fausse. \[\] **Signe de $g$ :** Puisque $f$ est strictement positive, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle orienté positivement ($x < x+1$) est strictement positive. Donc $g(x) > 0$. La proposition 4 est fausse. \[\] **Majoration de $g$ :** $g(x)$ est l'aire sous la courbe de $f$ sur un intervalle de largeur 1. Puisque $f(t) \leq 1$, l'aire est majorée par $1 \times 1 = 1$. L'affirmation qu'elle est strictement inférieure à $1/2$ est fausse (en évaluant $g(0) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} dt = [\arctan t]_0^1 = \frac{\pi}{4} \approx 0.78 > 0.5$). La proposition 5 est fausse.

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