Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q=4$. \[\] Son premier terme est $V_0 = \frac{U_0^2}{3-U_0^2} = \frac{1^2}{3-1^2} = \frac{1}{2}$. \[\] Son expression explicite est : $V_n = V_0 \times q^n = \frac{4^n}{2}$. \[\] Isolons maintenant $U_n$ dans la définition de $V_n$ : \[\] $V_n(3 - U_n^2) = U_n^2 \Rightarrow 3V_n - V_n U_n^2 = U_n^2 \Rightarrow U_n^2(1 + V_n) = 3V_n$. \[\] Donc $U_n^2 = \frac{3V_n}{1 + V_n}$. \[\] Puisque $U_0 > 0$ et que la relation de récurrence conserve la positivité, on prend la racine positive : \[\] $U_n = \sqrt{\frac{3V_n}{1 + V_n}}$. \[\] Remplaçons $V_n$ par sa valeur explicite $\frac{4^n}{2}$ : \[\] $U_n = \sqrt{\frac{3(\frac{4^n}{2})}{1 + \frac{4^n}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{3 \cdot 4^n}{2}}{\frac{2 + 4^n}{2}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 4^n}{2 + 4^n}}$. \[\] On extrait $4^n$ du numérateur de la racine (sachant que $\sqrt{4^n} = (\sqrt{4})^n = 2^n$) : \[\] $U_n = \frac{2^n \sqrt{3}}{\sqrt{2 + 4^n}} = \frac{2^n \sqrt{3}}{\sqrt{2 + 2^{2n}}}$. \[\] La proposition correcte est donc la B.

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