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Énoncé de la question
On considère la fonction $f$ strictement croissante sur $]0,+\infty[$, par : \[\] $f(x)=x+2x\ln x +\frac{\ln x}{x}$ \[\] $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Évaluons la limite de chaque terme de la fonction en $0^+$ : \[\] Le premier terme $x$ tend vers 0. \[\] Le second terme est le produit $2x\ln x$. Par le théorème des croissances comparées, la puissance l'emporte sur le logarithme en zéro : $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$. Donc $2x\ln x o 0$. \[\] Le troisième terme est le quotient $\frac{\ln x}{x}$. \[\] Le numérateur $\ln x$ tend vers $-\infty$. \[\] Le dénominateur $x$ tend vers $0^+$. \[\] Par les règles des limites sur les quotients, un infini divisé par un infiniment petit positif donne un infini amplifié : $\frac{-\infty}{0^+} = -\infty$. \[\] En sommant les limites des trois termes : $0 + 0 + (-\infty) = -\infty$. \[\] La limite globale de $f(x)$ en $0^+$ est bien $-\infty$.
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