Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc

Explication générale

Un nombre complexe appartient à l'ensemble des imaginaires purs ($i\mathbb{R}$) si et seulement si sa partie réelle est nulle. \[\] Posons $z = x + iy$. L'expression devient : \[\] $Z = \frac{x + iy + 1}{x + iy - 1} = \frac{(x+1) + iy}{(x-1) + iy}$. \[\] Multiplions par le conjugué du dénominateur pour isoler la partie réelle : \[\] $Z = \frac{((x+1) + iy)((x-1) - iy)}{(x-1)^2 + y^2}$. \[\] Développons le numérateur et regroupons les termes réels (sans $i$) : \[\] $Re(Z) = \frac{(x+1)(x-1) - i(x+1)y + iy(x-1) - i^2y^2}{(x-1)^2 + y^2}$. \[\] $Re(Z) = \frac{(x^2-1) + y^2}{(x-1)^2 + y^2}$. \[\] Posons que cette partie réelle doit être nulle : \[\] $\frac{x^2 + y^2 - 1}{(x-1)^2 + y^2} = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$. \[\] L'équation $x^2 + y^2 = 1$ caractérise le cercle de centre O(0,0) et de rayon 1. \[\] Il faut cependant exclure la valeur interdite du domaine initial : $z = 1$ (soit le point de coordonnées $(1,0)$). \[\] L'ensemble géométrique est donc le cercle unité privé du point $(1,0)$.

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