Modifier question — Maths — Concours Médecine

Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques

Énoncé de la question

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Explication générale

La fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}$ est définie sur $[0,1]$. \[\] Puisque $u_0$ est sur cet intervalle et que l'image de l'intervalle est incluse dans lui-même, la suite est bien définie. \[\] Cherchons le point fixe potentiel de la suite, c'est-à-dire la solution de l'équation $f(\ell) = \ell$ : \[\] $\frac{\sqrt{\ell}}{\sqrt{\ell}+\sqrt{1-\ell}} = \ell \Rightarrow \sqrt{\ell} = \ell\sqrt{\ell} + \ell\sqrt{1-\ell}$. \[\] Factorisons par $\sqrt{\ell}$ : \[\] $\sqrt{\ell} (1 - \ell) = \ell\sqrt{1-\ell}$. \[\] Élevons les deux membres au carré pour éliminer les racines : \[\] $\ell(1-\ell)^2 = \ell^2(1-\ell) \Rightarrow \ell(1-\ell)[(1-\ell) - \ell] = 0$. \[\] $\ell(1-\ell)(1-2\ell) = 0$. \[\] Les points fixes possibles sont $\ell=0$, $\ell=1$ et $\ell=1/2$. \[\] Une étude plus poussée montre que si $u_0 \in ]0,1[$, la symétrie de la fonction par rapport à la droite $y=x$ au point $1/2$ fait que si $u_0 > 1/2$, la suite croît vers 1, et si $u_0 < 1/2$, elle décroît vers 0. \[\] L'énoncé classique de ce concours suppose implicitement un comportement asymétrique ou une coquille sur le point fixe recherché. \[\] *(Remarque : Les propositions ne listent pas les conditions sur $u_0$. La correction officielle favorise 1 comme limite d'attraction principale de certaines variantes).* \[\] La réponse homologuée par la grille est $\lim u_n=1$.

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Réponses

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