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Énoncé de la question
Si $z=e^{-i\theta}-e^{i\theta}$ avec $\theta\in[0,\pi[$, \[\] alors $|z|$ est égal à :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Utilisons les formules d'Euler pour convertir les exponentielles complexes en fonctions trigonométriques. \[\] On sait que $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. \[\] L'expression donnée est l'opposé de ce numérateur : \[\] $z = e^{-i\theta} - e^{i\theta} = -(e^{i\theta} - e^{-i\theta}) = -2i\sin(\theta)$. \[\] Calculons maintenant le module de $z$ : \[\] $|z| = |-2i\sin(\theta)| = |-2i| \times |\sin(\theta)|$. \[\] Sachant que le module de $-2i$ est 2, on a : \[\] $|z| = 2|\sin(\theta)|$. \[\] Étudions le signe du sinus sur l'intervalle donné. Pour $\theta \in [0, \pi[$, la fonction sinus est toujours positive ou nulle. \[\] La valeur absolue peut donc être retirée sans changer le signe : $|\sin(\theta)| = \sin(\theta)$. \[\] Le module se simplifie finalement en : $|z| = 2\sin(\theta)$.
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