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Énoncé de la question
On considère le plan $(P)$ d'équation $3x-2z+3=0$. \[\] On lance un dé (faces numérotées de 1 à 6), et on note $a$ le résultat obtenu. \[\] La probabilité que le point $A(a^2;2a;6a-3)$ appartienne à $(P)$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Pour que le point $A$ appartienne au plan $(P)$, ses coordonnées doivent vérifier l'équation cartésienne du plan. \[\] Remplaçons $x$ par $a^2$ et $z$ par $6a-3$ dans l'équation $3x - 2z + 3 = 0$ (la coordonnée $y$ n'intervenant pas) : \[\] $3(a^2) - 2(6a - 3) + 3 = 0$. \[\] Développons cette expression : \[\] $3a^2 - 12a + 6 + 3 = 0 \Rightarrow 3a^2 - 12a + 9 = 0$. \[\] Simplifions en divisant tous les termes par 3 : \[\] $a^2 - 4a + 3 = 0$. \[\] C'est une équation du second degré. Une racine évidente est 1 (car $1 - 4 + 3 = 0$). Le produit des racines valant $c/a = 3$, l'autre racine est 3. \[\] Les solutions sont donc $a=1$ et $a=3$. \[\] L'événement "A appartient à P" se réalise donc si et seulement si le résultat du dé est 1 ou 3. \[\] Le dé a 6 faces équiprobables. Les cas favorables sont au nombre de 2 (face 1 et face 3). \[\] La probabilité de l'événement est : $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
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