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Énoncé de la question
Soit $g$ une fonction numérique définie et dérivable sur $I = ]0,+\infty[$, telle que : \[\] $g(x)=xg(\frac{1}{x}) \quad \text{pour } x\in]0,+\infty[ \quad \text{et} \quad g(1)=1.$ \[\] La valeur de $g'(1)$ est :
Supporte LaTeX : $x^2$ pour inline, $$\sum_{i=1}^{n}$$ pour bloc
Explication générale
Puisque $g$ est dérivable, nous pouvons dériver chaque membre de l'équation $g(x) = xg(\frac{1}{x})$ par rapport à $x$. \[\] Le membre de droite est un produit de fonctions : $u(x) = x$ et $v(x) = g(\frac{1}{x})$. \[\] La dérivée de $u$ est $u'(x) = 1$. \[\] La dérivée de $v$ s'obtient par la règle de composition : $v'(x) = (\frac{1}{x})' \cdot g'(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2} g'(\frac{1}{x})$. \[\] Appliquons $(uv)' = u'v + uv'$ : \[\] $g'(x) = 1 \cdot g(\frac{1}{x}) + x \left(-\frac{1}{x^2} g'(\frac{1}{x})\right)$. \[\] En simplifiant, on obtient l'équation différentielle : \[\] $g'(x) = g(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x} g'(\frac{1}{x})$. \[\] On nous demande la valeur en $x=1$. Substituons $x$ par 1 dans cette équation : \[\] $g'(1) = g(1) - \frac{1}{1} g'(1)$. \[\] $g'(1) = g(1) - g'(1)$. \[\] Isolons $g'(1)$ : \[\] $2g'(1) = g(1)$. \[\] Or l'énoncé précise que $g(1) = 1$. \[\] Donc $2g'(1) = 1 \Rightarrow g'(1) = \frac{1}{2}$.
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