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Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire
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Titre
Description
Les asymptotes caractérisent le comportement de la courbe à l'infini et près des singularités. Les identifier et calculer les coefficients est attendu dans toute étude de fonction.
Type
TRÈS FRÉQUENT
FORMULE RAPIDE
ASTUCE
PIÈGE CLASSIQUE
SHORTCUT MAGIQUE
RECETTE MAGIQUE
Thème
Fréquence (1-5)
★☆☆☆☆
★★☆☆☆
★★★☆☆
★★★★☆
★★★★★
Ordre
Formule / Raccourci
AV $x = a$: $$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$$ AH $y = b$: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b \quad \text{(fini)}$$ AO $y = ax+b$: $$a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} \quad (\neq 0)$$ $$b = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl[f(x) - ax\bigr]$$ Position courbe/asymptote: signe de $f(x) - (ax+b)$ au voisinage
Exemple concret
f(x) = (x²+1)/(x−1). AV: x=1. f(x)/x → 1 = a. f(x)−x → 1 = b. AO: y = x+1.
Piège à éviter
Chercher une AO quand il y a déjà une AH. Si lim f(x) = b (fini), il y a AH et AUCUNE AO. L'AO n'existe que si f(x) → ±∞.
Mémo / Recette
AV: dénominateur = 0. AH: limite finie. AO: si pas d'AH, vérifier f(x)/x. Dans l'ordre: AV → AH → si pas d'AH, chercher AO.
Sources
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