Tricks Médecine — Maths — Tricks

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ $$P(A \cap B) = P(A|B)\cdot P(B) = P(B|A)\cdot P(A)$$ Si $A$, $B$ indépendants: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

$$U_n = U_1 + (n-1)\cdot r \quad \text{[indexée à partir de 1]}$$ $$U_n = U_0 + n\cdot r \quad \text{[indexée à partir de 0]}$$ Raison: $r = U_{n+1} - U_n$ (constante) Somme des $n$ premiers termes: $$S_n = n\cdot\dfrac{U_1 + U_n}{2}$$

$$U_n = U_1 \cdot q^{n-1} \quad \text{[indexée à partir de 1]}$$ $$U_n = U_0 \cdot q^n \quad \text{[indexée à partir de 0]}$$ Somme des $n$ premiers termes ($q \neq 1$): $$S_n = U_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$$ $|q| < 1$: $U_n \to 0$. Somme infinie: $$S_\infty = \dfrac{U_1}{1-q}$$

1. DOMAINE $D_f$ (dénominateur $\neq 0$, $\ln > 0$, $\sqrt{\phantom{x}} \geq 0$) 2. LIMITES aux bornes de $D_f$ 3. ASYMPTOTES (verticales, horizontales, obliques) 4. DÉRIVÉE $f'(x)$ et son signe 5. TABLEAU DE VARIATION 6. POINTS REMARQUABLES (extrema, inflexion, intersections axes) 7. TRACÉ de la courbe

AV $x = a$: $$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$$ AH $y = b$: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b \quad \text{(fini)}$$ AO $y = ax+b$: $$a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} \quad (\neq 0)$$ $$b = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl[f(x) - ax\bigr]$$ Position courbe/asymptote: signe de $f(x) - (ax+b)$ au voisinage

$$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$$ $$(e^u)' = u' \cdot e^u$$ $$(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}$$ $$(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$$ $$\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$$ Règle produit: $(uv)' = u'v + uv'$ Règle quotient: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

FORME EXPONENTIELLE: $$z = r\,e^{i\theta}$$ Où: $r = |z|$ = module, $\quad\theta = \arg(z)$ = argument FORMULE D'EULER: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$$ RACINES $n$-IÈMES DE L'UNITÉ ($z^n = 1$): $$z_k = e^{2k\pi i/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$ RACINES CUBIQUES ($n=3$): $1,\ \omega,\ \omega^2$ $$\omega = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\omega^3 = 1 \quad \text{et} \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0$$

THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES: CONDITIONS: 1. $f$ continue sur $[a, b]$ 2. $f(a)$ et $f(b)$ de SIGNES OPPOSÉS: $f(a) \cdot f(b) < 0$ CONCLUSION: $\exists\, c \in\ ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$ (au moins une racine dans l'intervalle) Si $f$ STRICTEMENT MONOTONE sur $[a,b]$: → EXACTEMENT une racine (unicité) ATTENTION: Si $f(a)\cdot f(b) > 0$ → on ne peut rien conclure

$$\int \dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$$ $$\int u'(x)\cdot[u(x)]^n\,dx = \dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$ $$\int u'(x)\cdot e^{u(x)}\,dx = e^{u(x)} + C$$ $$\int u'(x)\cdot\cos(u(x))\,dx = \sin(u(x)) + C$$ $$\int u'(x)\cdot\sin(u(x))\,dx = -\cos(u(x)) + C$$ INTÉGRATION PAR PARTIES: $$\int u\,v'\,dx = \bigl[u\,v\bigr] - \int u'\,v\,dx$$ Règle LIATE pour choisir $u$: Log, Inv. trigo, Algébrique, Trigo, Exp.

ÉTAPE 1 — INITIALISATION: Vérifier que $P(n_0)$ est vraie ($n_0 = 0$ ou $1$ selon l'énoncé) ÉTAPE 2 — HÉRÉDITÉ: Supposer $P(n)$ vraie pour un $n$ fixé (hypothèse de récurrence) Montrer que $P(n+1)$ est vraie en utilisant $P(n)$ ÉTAPE 3 — CONCLUSION: 'Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$'

Méthode 1: signe de $U_{n+1} - U_n = f(U_n) - U_n$ → $> 0$ partout sur l'intervalle → suite croissante → $< 0$ partout → suite décroissante Méthode 2 (point fixe): Résoudre $f(x) = x$ → point(s) fixe(s) Si $U_n <$ point fixe et $f$ croissante: → suite croissante bornée → converge vers le point fixe

COMBINAISON (ordre NON important): $$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ "Choisir $k$ parmi $n$" ARRANGEMENT (ordre IMPORTANT): $$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$$ "Choisir $k$ et les ordonner" PERMUTATION (tous dans un ordre): $$n! \quad \text{(tous les } n \text{ éléments rangés)}$$

$\infty/\infty$ ou $0/0$ (polynômes/rationnelles): → Diviser par le terme dominant Ex: $\dfrac{3x^2+x}{2x^2-1} \to \dfrac{3}{2}$ $0/0$ (avec $\ln$ ou $\exp$): $$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$$ $\infty - \infty$ (avec racines): → Multiplier par conjugué Ex: $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ $0 \times \infty$: → Réécrire en $\dfrac{0}{1/\infty}$ ou $\dfrac{\infty}{1/0}$

$\ln(f(x))$: $f(x) > 0$ (STRICTEMENT positif) $\sqrt{f(x)}$: $f(x) \geq 0$ (positif ou nul) $\dfrac{1}{f(x)}$: $f(x) \neq 0$ Exemples combinés: $\ln(1-x^2)$: $1-x^2 > 0 \implies -1 < x < 1$ $\sqrt{x^2-4}$: $x^2 \geq 4 \implies |x| \geq 2 \implies ]-\infty;-2] \cup [2;+\infty[$ Racine AU DÉNOMINATEUR: $\sqrt{f(x)} > 0$ (strictement)

1. Factoriser $f'(x)$ complètement 2. Identifier zéros et points hors $D_f$ 3. Tableau: signe de chaque facteur par intervalle 4. Signe de $f'(x)$ = produit des signes 5. $f'(x) > 0 \implies f$ croissante; $f'(x) < 0 \implies f$ décroissante 6. Changement de signe $\implies$ extremum local

CONDITIONS DE DÉFINITION: $\ln(u(x))$: $u(x) > 0$ (strictement positif) $\sqrt{u(x)}$: $u(x) \geq 0$ (positif ou nul) $\dfrac{1}{u(x)}$: $u(x) \neq 0$ $(1+\tfrac{1}{x})^x$: $x \neq 0$ et $1+\tfrac{1}{x} > 0$ $\implies x \in\ ]-\infty,-1[\ \cup\ ]0,+\infty[$ COMBINAISON: $\ln(\sqrt{u}) = \tfrac{1}{2}\ln(u)$ → condition: $u > 0$ $\sqrt{\ln(u)}$ → condition: $u \geq 1$ $\ln(1-x^2)$ → $-1 < x < 1$

3 ÉTAPES OBLIGATOIRES: 1. INITIALISATION: Vérifier $P(n_0)$ pour le rang initial Conclure: 'donc $P(n_0)$ est vraie' 2. HÉRÉDITÉ (Hypothèse): 'Supposons que $P(n)$ est vraie pour un $n \geq n_0$ FIXÉ' (NE PAS dire 'pour tout $n$' dans l'hypothèse) 3. HÉRÉDITÉ (Démonstration): 'Montrons que $P(n+1)$ est vraie' CONCLUSION: 'Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$' ERREUR CLASSIQUE: raisonnement circulaire (utiliser $P(n+1)$ pour prouver $P(n+1)$)

Plan $(P)$: $ax + by + cz + d = 0$ Vecteur normal: $\vec{n} = (a, b, c)$ Distance du point $M(x_0,y_0,z_0)$ au plan $(P)$: $$d(M,P) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ PIED DE LA PERPENDICULAIRE $H$ de $M$ sur $(P)$: Droite par $M$ de direction $\vec{n}$: $(x,y,z) = (x_0+at,\ y_0+bt,\ z_0+ct)$ Substituer dans $(P)$ → trouver $t$ → $H$