Tricks Médecine — Maths — Tricks
Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques
ASTUCE
probabilites_suites
★★★★☆
Actif
Suite récurrente: sens de variation et point fixe
Pour une suite Uₙ₊₁ = f(Uₙ), déterminer le sens de variation sans calculer tous les termes. La méthode directe: étudier le signe de Uₙ₊₁ − Uₙ ou comparer f à l'identité.
Méthode 1: signe de $U_{n+1} - U_n = f(U_n) - U_n$
→ $> 0$ partout sur l'intervalle → suite croissante
→ $< 0$ partout → suite décroissante
Méthode 2 (point fixe):
Résoudre $f(x) = x$ → point(s) fixe(s)
Si $U_n <$ point fixe et $f$ croissante:
→ suite croissante bornée → converge vers le point fixe
Exemple
Uₙ₊₁ = (Uₙ+4)/2, U₀=0. Point fixe: x=(x+4)/2 → x=4. U₁=2, U₂=3 → croissante bornée par 4 → converge vers 4.
Uₙ₊₁ = (Uₙ+4)/2, U₀=0. Point fixe: x=(x+4)/2 → x=4. U₁=2, U₂=3 → croissante bornée par 4 → converge vers 4.
Piège
Calculer quelques termes numériques et conclure sans démonstration. Les concours exigent une démonstration formelle (récurrence ou étude du signe). L'observation numérique seule = 0 point.
Calculer quelques termes numériques et conclure sans démonstration. Les concours exigent une démonstration formelle (récurrence ou étude du signe). L'observation numérique seule = 0 point.
Mémo
Point fixe = limite éventuelle de la suite. Trouver le point fixe d'abord, puis montrer que la suite converge vers lui par monotonie + bornitude.
Point fixe = limite éventuelle de la suite. Trouver le point fixe d'abord, puis montrer que la suite converge vers lui par monotonie + bornitude.
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ASTUCE
etude_fonction
★★★★★
Actif
Tableau de signe de f'(x): lire les variations mécaniquement
Une fois f'(x) factorisé, le tableau de signe se construit mécaniquement. Chaque facteur change de signe à ses zéros, et le signe du produit se détermine terme à terme.
1. Factoriser $f'(x)$ complètement
2. Identifier zéros et points hors $D_f$
3. Tableau: signe de chaque facteur par intervalle
4. Signe de $f'(x)$ = produit des signes
5. $f'(x) > 0 \implies f$ croissante; $f'(x) < 0 \implies f$ décroissante
6. Changement de signe $\implies$ extremum local
Exemple
f'(x) = (x−2)(x+1). Zéros: x=−1 et x=2. Sur ]−∞;−1[: (−)(−)=+ → f croît. Sur ]−1;2[: (−)(+)=− → f décroît. Sur ]2;+∞[: (+)(+)=+ → f croît.
f'(x) = (x−2)(x+1). Zéros: x=−1 et x=2. Sur ]−∞;−1[: (−)(−)=+ → f croît. Sur ]−1;2[: (−)(+)=− → f décroît. Sur ]2;+∞[: (+)(+)=+ → f croît.
Piège
Conclure extremum en tout point où f'(x) = 0. Si f'(x) = (x−1)² ≥ 0 toujours, f' ne change pas de signe → pas d'extremum mais point d'inflexion.
Conclure extremum en tout point où f'(x) = 0. Si f'(x) = (x−1)² ≥ 0 toujours, f' ne change pas de signe → pas d'extremum mais point d'inflexion.
Mémo
+ vers − = maximum. − vers + = minimum. Pas de changement = point d'inflexion à tangente horizontale. Mémo: 'Monte puis descend = sommet | descend puis monte = creux'.
+ vers − = maximum. − vers + = minimum. Pas de changement = point d'inflexion à tangente horizontale. Mémo: 'Monte puis descend = sommet | descend puis monte = creux'.
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