Maths — Concours Médecine — Questions
Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques
Question 21
Actif
On considère la fonction $f_{n}$ telle que $f_{n}(x)=nxe^{-nx}$ avec $x\in\left[ 0,+\infty\right[ $ et $n\in\mathbb{N^{*}}$. \[\] Soit $(C_{n})$ la courbe de $f_{n}$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. \[\] Choisissez la réponse correcte :
✗
$\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x)=+\infty$
✗
$\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x)=-\infty$
✗
$\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x)=n$
✗
$f_{n}^{'}(x)=ne^{-nx}(nx-1)$
✓
toutes les réponses proposées sont fausses.
Explication : Testons les différentes propositions en analysant la fonction $f_n$. \[\] Commençons par la limite en $+\infty$ : \[\] $\lim_{x\to +\infty}f_{n}(x) = \lim_{x\to +\infty}\frac{nx}{e^{nx}}$ \[\] Si on pose le changement de variable $X = nx$, alors $X \to +\infty$. \[\] $\lim_{X\to +\infty}\frac{X}{e^X} = 0$, car par les théorèmes de croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance. \[\] Alors les propositions 1, 2 et 3 sont fausses, car la limite est 0. \[\] Calculons la dérivée $f'_n(x)$ en utilisant la formule d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x)=nx$ et $v(x)=e^{-nx}$ : \[\] $u'(x) = n$ \[\] $v'(x) = -ne^{-nx}$ \[\] $f_{n}^{'}(x) = n e^{-nx} + nx(-ne^{-nx}) = n e^{-nx} - n^2 x e^{-nx}$ \[\] En factorisant par $ne^{-nx}$ : \[\] $f_{n}^{'}(x) = ne^{-nx}(1 - nx)$ \[\] La proposition 4 indique $ne^{-nx}(nx-1)$, qui est l'opposé exact de la bonne dérivée. Elle est donc fausse. \[\] Par élimination, toutes les réponses proposées sont fausses.
Question 22
Actif
Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ deux suites définies pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, par : \[\] $U_n=\frac{e^n}{n^n} \quad \text{et} \quad V_n=\ln(U_n).$ \[\] Choisissez l'affirmation correcte :
✗
la suite $(V_n)$ et la suite $(U_n)$ ont la même limite.
✗
la suite $(V_n)$ est strictement croissante
✗
la suite $(U_n)$ est strictement croissante
✓
La suite $(U_n)$ est bornée.
✗
la suite $(U_n)$ admet une limite et cette limite est non nulle.
Explication : Analysons les propriétés de la suite $U_n = \frac{e^n}{n^n} = \left(\frac{e}{n}\right)^n$. \[\] **Convergence :** Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, le quotient intérieur $\frac{e}{n}$ tend vers 0. Ainsi, par composition des limites, la limite de $U_n$ est égale à 0. \[\] **Monotonie :** Pour vérifier la monotonie de cette suite à termes strictement positifs, évaluons le quotient $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ : \[\] $\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{e^n} = e \times \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{e}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ \[\] À partir de $n \geq 2$, la fraction $\frac{e}{n+1}$ est strictement inférieure à 1, et le terme $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ l'est également. \[\] Le quotient global est donc strictement inférieur à 1, ce qui prouve que la suite $(U_n)$ est strictement décroissante à partir du rang 2. \[\] **Caractère borné :** \[\] Puisque $U_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la suite est minorée par 0. \[\] Toute suite décroissante et minorée converge, et par définition, toute suite convergente est bornée. \[\] L'affirmation exacte parmi les choix est donc 'La suite $(U_n)$ est bornée.'
Question 23
Actif
$I_n=\displaystyle\int_1^e x(\ln x)^n dx$. \[\] Alors $(\forall n\in\mathbb{N})$, $2I_{n+1}+(n+1)I_n$ est égal à :
✗
$e$
✓
$e^2$
✗
$1$
✗
$\dfrac{e-1}{2}$
✗
$\dfrac{e+1}{2}$
Explication : Effectuons une intégration par parties sur $I_n = \int_1^e x(\ln x)^n dx$. \[\] Posons $u(x) = (\ln x)^n$ et $v'(x) = x$. \[\] On en déduit $u'(x) = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}$ et $v(x) = \frac{x^2}{2}$. \[\] La formule d'intégration par parties donne : \[\] $I_n = \left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^n\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{n(\ln x)^{n-1}}{x} dx$ \[\] Évaluons le crochet : \[\] $\left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^n\right]_1^e = \frac{e^2}{2}(\ln e)^n - \frac{1^2}{2}(\ln 1)^n = \frac{e^2}{2}(1)^n - 0 = \frac{e^2}{2}$ \[\] Simplifions l'intégrale résiduelle : \[\] $\int_1^e \frac{n}{2} x (\ln x)^{n-1} dx = \frac{n}{2} \int_1^e x(\ln x)^{n-1} dx = \frac{n}{2} I_{n-1}$ \[\] On assemble le tout pour obtenir une relation de récurrence : \[\] $I_n = \frac{e^2}{2} - \frac{n}{2} I_{n-1}$ \[\] Multiplions l'équation par 2 pour éliminer les fractions : \[\] $2I_n = e^2 - n I_{n-1}$ \[\] Soit : $2I_n + n I_{n-1} = e^2$ \[\] Pour faire correspondre cette expression à celle de l'énoncé, il suffit de remplacer l'indice $n$ par $(n+1)$ : \[\] $2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2$.
Question 24
Actif
$ABCD$ est un carré de côté 1. \[\] $E\in[AB]$ et $F\in[BC]$ avec $BE=CF=x$. \[\] La valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle $EFD$ est minimale est :
✗
$0$
✗
$\dfrac{1}{4}$
✗
$\dfrac{1}{3}$
✓
$\dfrac{1}{2}$
✗
Autre réponse
Explication : Le triangle central $EFD$ n'étant pas rectangle, son aire est difficile à calculer directement. \[\] Il est plus simple de soustraire à l'aire totale du carré les aires des trois triangles rectangles situés aux coins : $AED$, $BEF$ et $FCD$. \[\] L'aire du carré est : $1 \times 1 = 1$. \[\] Exprimons les longueurs des côtés des trois triangles extérieurs : \[\] $AB = 1$, donc $AE = 1-x$ (puisque $E\in[AB]$ et $BE=x$). \[\] $BC = 1$, donc $BF = 1-x$ (puisque $F\in[BC]$ et $CF=x$). \[\] $CD = 1$, $AD = 1$. \[\] Calculons leurs aires respectives : \[\] Aire($AED$) = $\frac{AD \times AE}{2} = \frac{1 \times (1-x)}{2} = \frac{1-x}{2}$ \[\] Aire($BEF$) = $\frac{BE \times BF}{2} = \frac{x(1-x)}{2}$ \[\] Aire($FCD$) = $\frac{CD \times CF}{2} = \frac{1 \times x}{2} = \frac{x}{2}$ \[\] L'aire du triangle intérieur est donc : \[\] Aire($EFD$) = $1 - \left(\frac{1-x}{2} + \frac{x-x^2}{2} + \frac{x}{2}\right)$ \[\] $= 1 - \frac{1 - x + x - x^2 + x}{2} = 1 - \frac{1 + x - x^2}{2}$ \[\] $= \frac{2 - (1 + x - x^2)}{2} = \frac{1 - x + x^2}{2}$ \[\] Pour trouver le minimum de cette fonction quadratique $f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)$, calculons sa dérivée : \[\] $f'(x) = \frac{1}{2}(2x - 1)$ \[\] On cherche où la dérivée s'annule : \[\] $\frac{2x - 1}{2} = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ \[\] La valeur de $x$ qui minimise l'aire est bien $1/2$.
Question 25
Actif
La valeur de la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x+1}}{x}$ est :
✗
$+\infty$
✗
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
✓
$\sqrt{2}$
✗
n'existe pas
Explication : Pour lever l'indétermination en $+\infty$, la méthode la plus directe est de factoriser le terme dominant ($x^2$) à l'intérieur des racines carrées, puis de l'extraire. \[\] $\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x+1}}{x}$ \[\] Factorisons par $x^2$ dans la première racine : \[\] $\sqrt{2x^2+1} = \sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2})} = x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}$ (car $x > 0$ en $+\infty$) \[\] Factorisons par $x^2$ dans la deuxième racine : \[\] $\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})} = x\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$ \[\] Réécrivons l'expression fractionnaire : \[\] $= \lim_{x\to+\infty} \frac{x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}} - x\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{x}$ \[\] Factorisons le numérateur par $x$ et simplifions avec le dénominateur : \[\] $= \lim_{x\to+\infty} \left( \sqrt{2+\frac{1}{x^2}} - \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} \right)$ \[\] En $+\infty$, les termes $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ tendent vers zéro : \[\] $= \sqrt{2+0} - \sqrt{0+0} = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$
Question 26
Actif
Soit $f$ la fonction numérique définie par : \[\] $f(x)=2\ln(x^2-2x+2)$ \[\] Choisissez l'affirmation correcte :
✗
Domaine de définition de $f$ est :$\mathbb{R^+}$
✗
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
✓
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$
✗
$f''(x)=\frac{x(4-x)}{[(x-1)^2+1]^2}$
✗
$\lim_{x\to 0}f(x)=\ln2$
Explication : Analysons la fonction et vérifions chaque proposition. \[\] **Domaine de définition (Prop 1) :** \[\] L'argument du logarithme doit être strictement positif. Étudions le polynôme $x^2-2x+2$. \[\] Son discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$. \[\] Puisque $\Delta < 0$ et $a=1>0$, le polynôme est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$. \[\] Le domaine de définition est donc $\mathbb{R}$ entier, la proposition 1 est fausse. \[\] **Limite en l'infini (Prop 2) :** \[\] $\lim_{x\to+\infty} (x^2-2x+2) = +\infty$, par composition, $\lim_{X\to+\infty} \ln(X) = +\infty$. \[\] Donc $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$. La proposition 2 est fausse. \[\] **Branche infinie (Prop 3) :** \[\] $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln(x^2-2x+2)}{x}$ \[\] Factorisons par $x^2$ dans le logarithme : \[\] $= \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln(x^2(1 - 2/x + 2/x^2))}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln(x^2) + 2\ln(1 - 2/x + 2/x^2)}{x}$ \[\] $= \lim_{x\to+\infty} \left( 4\frac{\ln x}{x} + \frac{2\ln(1 - 2/x + 2/x^2)}{x} \right)$ \[\] Par croissances comparées $\frac{\ln x}{x} \to 0$, le second terme tend vers $\frac{0}{\infty} = 0$. La limite est donc $0$. La proposition 3 est vraie. \[\] **Dérivée seconde (Prop 4) :** \[\] La dérivée première est $f'(x) = 2 \frac{(x^2-2x+2)'}{x^2-2x+2} = 4 \frac{x-1}{x^2-2x+2}$. \[\] La dérivée seconde proposée ne correspond pas au calcul analytique standard de cette expression. \[\] **Limite en 0 (Prop 5) :** \[\] $\lim_{x\to 0} f(x) = 2\ln(0 - 0 + 2) = 2\ln 2$. Or la proposition propose $\ln 2$, elle est donc fausse.
Question 27
Actif
On pose pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $I_{n}=\displaystyle\int_{1}^{e}x^{n}\ln x dx$ \[\] L'expression de $I_n$ en fonction de $n$ est :
✓
$\frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^{2}}$
✗
$\frac{ne^{n+1}}{(n+1)^{2}}$
✗
$n\frac{e^{n+1}+1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}$
✗
$\frac{e^{n}}{n}\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}$
Explication : On a : $I_{n}=\int_{1}^{e}x^{n}\ln x dx \quad \big(n\in\mathbb{N}\big)$ \[\] Pour évaluer cette intégrale, il faut procéder à une intégration par parties. \[\] On pose pour cela : $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x^{n}$. \[\] On dérive $u$ et on intègre $v'$ : \[\] $u'(x) = \frac{1}{x}$ \[\] $v(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$ \[\] La formule d'intégration par parties donne : \[\] $I_{n} = \left[u(x)v(x)\right]_1^e - \int_{1}^{e} u'(x)v(x) dx$ \[\] $I_{n} = \left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{n+1}x^{n+1} dx$ \[\] Calculons le crochet aux bornes : \[\] $\left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\ln x\right]_{1}^{e} = \frac{1}{n+1}e^{n+1}\ln e - \frac{1}{n+1}1^{n+1}\ln 1 = \frac{e^{n+1}}{n+1} - 0$ \[\] Simplifions la deuxième intégrale : \[\] $\int_{1}^{e} \frac{1}{n+1}x^{n} dx = \frac{1}{n+1} \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_1^e = \frac{1}{(n+1)^2} \left( e^{n+1} - 1 \right)$ \[\] On assemble et on met au même dénominateur : \[\] $I_n = \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{e^{n+1} - 1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)e^{n+1} - e^{n+1} + 1}{(n+1)^2}$ \[\] $I_n = \frac{ne^{n+1} + e^{n+1} - e^{n+1} + 1}{(n+1)^2} = \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$
Question 28
Actif
Soient $m$ une constante de $\mathbb{R}$ et $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par : \[\] $h(x) = x^m - (\ln x)^2$ \[\] Choisissez l'affirmation correcte :
✗
Si $m > 0;$ $\lim_{x\to +\infty} h(x) = 0$
✗
Si $m < 0;$ $\lim_{x\to 0^+} h(x) = 0$
✗
Si $m < 0;$ $\lim_{x\to 0^+} h(x) = -\infty$
✗
Si $m \leq 0;$ $\lim_{x\to +\infty} h(x) = 0$
✓
Si $m > 0;$ $\lim_{x\to +\infty} h(x) = +\infty$
Explication : Pour analyser le comportement asymptotique de la fonction $h$, il faut séparer les cas en fonction du signe du paramètre $m$. \[\] **Cas où $m > 0$ :** \[\] Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, nous avons une forme indéterminée de type "$\infty - \infty$" puisque $x^m \to +\infty$ et $(\ln x)^2 \to +\infty$. \[\] On factorise par le terme dominant : \[\] $h(x) = x^m \left( 1 - \frac{(\ln x)^2}{x^m} \right)$ \[\] Par les théorèmes de croissances comparées, la fonction puissance l'emporte toujours sur le logarithme en l'infini. Donc $\lim_{x\to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x^m} = 0$. \[\] Ainsi, $\lim_{x\to +\infty} h(x) = +\infty(1 - 0) = +\infty$. \[\] La proposition 5 est donc exacte. \[\] **Cas où $m < 0$ :** \[\] En $+\infty$, $x^m$ tend vers $0$ (car l'exposant est négatif), et $-(\ln x)^2$ tend vers $-\infty$. La limite globale est $-\infty$. \[\] En $0^+$, $x^m$ tend vers $+\infty$ et $-(\ln x)^2$ tend vers $-\infty$. Il s'agit d'une indétermination complexe qui ne débouche pas sur une limite nulle de façon triviale. \[\] **Cas où $m = 0$ :** \[\] $h(x) = 1 - (\ln x)^2$. En $+\infty$, la limite est clairement $-\infty$.
Question 29
Actif
La courbe représentative de la fonction $f$ définie par : \[\] $f(x)=x+\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$ \[\] admet au voisinage de $+\infty$ une asymptote d'équation :
✗
$y=x$
✗
$y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+1$
✗
$y=\sqrt{2}x+1$
✗
$y=2x + \frac{\sqrt{2}}{2}$
✓
$y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$
Explication : Pour rechercher une asymptote oblique d'équation $y = ax + b$, on calcule d'abord le coefficient directeur $a = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$. \[\] $\frac{f(x)}{x} = \frac{x+\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}}{x} = 1 + \frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}$ \[\] En l'infini, $\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}$ tend vers 0. Donc $a = 1 + 0 = 1$. \[\] Ensuite, on calcule l'ordonnée à l'origine $b = \lim_{x\to+\infty} (f(x) - ax)$. \[\] $f(x) - x = \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$ \[\] Il s'agit d'une forme indéterminée de type "$\infty / \infty$". Pour la lever, on factorise par $x^2$ dans la racine au dénominateur : \[\] $\sqrt{1+2x^2} = \sqrt{x^2(\frac{1}{x^2}+2)} = x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}$ (car $x > 0$ au voisinage de $+\infty$) \[\] L'expression devient : \[\] $= \frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}$ \[\] On passe à la limite : \[\] $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}} = \frac{1}{\sqrt{0+2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ \[\] La valeur de $b$ est donc $\frac{1}{\sqrt{2}}$. \[\] L'équation de l'asymptote oblique est $y = x + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Question 30
Actif
Si $f(x)=\frac{1}{1-x}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$, \[\] alors $f'(x)$ est égale à :
✗
$\frac{1}{(1-x)^{2}}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x(1-x^2)}$
✓
$\frac{1}{(1-x)^{2}}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(1-x^2)}$
✗
$\frac{1}{1-x^{2}}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x(1-x^2)}$
✗
$\frac{1}{(1-x)^{2}}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(1-x)}$
✗
$\frac{1}{(1-x)^{2}}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{(1-x)^{2}}$
Explication : La fonction $f$ est le produit de deux fonctions $u(x) = \frac{1}{1-x}$ et $v(x) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$. \[\] On applique la formule de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. \[\] Dérivons d'abord $u(x)$ : \[\] $u(x) = (1-x)^{-1} \Rightarrow u'(x) = -(-1)(1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^2}$ \[\] Dérivons ensuite $v(x)$ (rappel : $(\ln w)' = \frac{w'}{w}$) : \[\] $w(x) = 1 + \frac{1}{x} \Rightarrow w'(x) = -\frac{1}{x^2}$ \[\] $v'(x) = \frac{-1/x^2}{1+1/x} = \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{x(x+1)}$ \[\] Recomposons la dérivée $f'(x)$ : \[\] $f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{1-x} \cdot \frac{-1}{x(x+1)}$ \[\] Travaillons le second terme pour le simplifier : \[\] $= \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x(1-x)(1+x)}$ \[\] On reconnaît au dénominateur l'identité remarquable $(1-x)(1+x) = 1-x^2$ : \[\] $= \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x(1-x^2)}$ \[\] La réponse exacte est donc la B.
Question 31
Actif
Soit $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $U_{0}=1$ et $(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_{n+1}=\frac{2U_{n}}{\sqrt{1+U_{n}^2}}$. \[\] On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : V_{n}=\frac{U_{n}^{2}}{3-U_{n}^{2}}$ \[\] $(V_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de raison :
✗
$\frac{1}{4}$
✗
2
✗
$\frac{1}{2}$
✓
4
Explication : Pour montrer que $(V_n)$ est géométrique, calculons $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ : \[\] $V_{n+1} = \frac{U_{n+1}^{2}}{3-U_{n+1}^{2}}$ \[\] On sait que $U_{n+1} = \frac{2U_n}{\sqrt{1+U_n^2}}$, donc en élevant au carré : $U_{n+1}^2 = \frac{4U_n^2}{1+U_n^2}$. \[\] Remplaçons cette expression dans $V_{n+1}$ : \[\] $V_{n+1} = \frac{\frac{4U_n^2}{1+U_n^2}}{3 - \frac{4U_n^2}{1+U_n^2}} = \frac{\frac{4U_n^2}{1+U_n^2}}{\frac{3(1+U_n^2) - 4U_n^2}{1+U_n^2}}$ \[\] En simplifiant par le dénominateur commun $(1+U_n^2)$ : \[\] $V_{n+1} = \frac{4U_n^2}{3 + 3U_n^2 - 4U_n^2} = \frac{4U_n^2}{3 - U_n^2}$ \[\] On peut factoriser par 4 pour faire apparaître $V_n$ : \[\] $V_{n+1} = 4 \left(\frac{U_n^2}{3 - U_n^2}\right) = 4V_n$ \[\] La suite $(V_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=4$.
Question 32
Actif
On considère les deux intégrales : \[\] $I=\int_{0}^{1}5e^{t}\cos(2t) \mathrm{dt}$ et $J=5\int_{0}^{1}e^{t}\sin(2t) \mathrm{dt}$. \[\] Choisissez l'affirmation correcte :
✗
$2J-I=e\cos(2)-1$
✗
$2I+J=1-e\sin(2)$
✓
$J=2+e\sin(2)-2e\cos(2)$
✗
$I=2+e\cos(2)-2\sin(2)$
✗
toutes les réponses proposées sont fausses.
Explication : Pour relier $I$ et $J$, on peut utiliser la dérivée des fonctions composées $e^t\cos(2t)$ et $e^t\sin(2t)$. \[\] Dérivons $e^t\cos(2t)$ : $(e^t\cos(2t))' = e^t\cos(2t) - 2e^t\sin(2t)$. \[\] En intégrant cette relation entre 0 et 1 : \[\] $\int_0^1 (e^t\cos(2t))' dt = \int_0^1 e^t\cos(2t) dt - 2\int_0^1 e^t\sin(2t) dt$ \[\] $[e^t\cos(2t)]_0^1 = \frac{1}{5}I - \frac{2}{5}J$ \[\] $e\cos(2) - 1 = \frac{1}{5}(I - 2J) \Rightarrow I - 2J = 5e\cos(2) - 5$ \[\] Soit $2J - I = 5 - 5e\cos(2)$. La proposition 1 est donc fausse. \[\] Dérivons maintenant $e^t\sin(2t)$ : $(e^t\sin(2t))' = e^t\sin(2t) + 2e^t\cos(2t)$. \[\] En intégrant entre 0 et 1 : \[\] $[e^t\sin(2t)]_0^1 = \frac{1}{5}J + \frac{2}{5}I$ \[\] $e\sin(2) - 0 = \frac{1}{5}(2I + J) \Rightarrow 2I + J = 5e\sin(2)$. La proposition 2 est fausse. \[\] Résolvons le système pour trouver $J$ : on sait que $2J - I = 5 - 5e\cos(2)$ et $2I + J = 5e\sin(2)$. \[\] Multiplions la première par 2 : $4J - 2I = 10 - 10e\cos(2)$. \[\] Ajoutons la seconde : $(4J - 2I) + (2I + J) = 10 - 10e\cos(2) + 5e\sin(2)$. \[\] $5J = 10 - 10e\cos(2) + 5e\sin(2) \Rightarrow J = 2 - 2e\cos(2) + e\sin(2)$. \[\] La proposition 3 est donc rigoureusement exacte.
Question 33
Actif
Soit $f(x)=\ln(x-1)$ et $g(x)=\sqrt{x+1}$. \[\] Le domaine de définition de $g\circ f$ est :
✗
$[-1,+\infty[$
✗
$]1,+\infty[$
✓
$\left[1+\frac{1}{e},+\infty\right[$
✗
$]e,+\infty[$
✗
$]-e,+\infty[$
Explication : La fonction composée est définie par $g(f(x)) = \sqrt{\ln(x-1)+1}$. \[\] Pour que cette fonction soit définie, il faut respecter deux conditions simultanément : \[\] 1) L'argument du logarithme doit être strictement positif : $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$. \[\] 2) L'argument de la racine carrée doit être positif ou nul : $\ln(x-1) + 1 \geq 0$. \[\] Résolvons cette inéquation : \[\] $\ln(x-1) \geq -1$ \[\] En composant par l'exponentielle (qui est strictement croissante) : \[\] $x - 1 \geq e^{-1}$ \[\] $x \geq 1 + \frac{1}{e}$. \[\] L'intersection des deux conditions donne $x \geq 1 + \frac{1}{e}$ (car $1 + \frac{1}{e} > 1$). \[\] Le domaine de définition est donc $\left[1+\frac{1}{e},+\infty\right[$.
Question 34
Actif
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n-\sqrt{n^2-n})$ est égale à :
✗
$-\infty$
✗
$0$
✓
$\dfrac{1}{2}$
✗
$1$
✗
Autre réponse
Explication : Nous sommes face à une forme indéterminée de type $\infty - \infty$. \[\] Pour lever l'indétermination liée aux racines carrées, utilisons la méthode de la quantité conjuguée : \[\] $n-\sqrt{n^2-n} = \frac{(n-\sqrt{n^2-n})(n+\sqrt{n^2-n})}{n+\sqrt{n^2-n}}$ \[\] Développons le numérateur avec l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ : \[\] $= \frac{n^2 - (n^2-n)}{n+\sqrt{n^2-n}} = \frac{n}{n+\sqrt{n^2-n}}$ \[\] Factorisons maintenant par $n$ au dénominateur : \[\] $\sqrt{n^2-n} = \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n})} = n\sqrt{1-\frac{1}{n}}$ \[\] L'expression devient : \[\] $= \frac{n}{n + n\sqrt{1-\frac{1}{n}}} = \frac{n}{n(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}})} = \frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}$ \[\] Passons à la limite quand $n \to +\infty$ : \[\] $\frac{1}{n} \to 0$, donc $\sqrt{1-\frac{1}{n}} \to \sqrt{1} = 1$. \[\] La limite globale est donc $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
Question 35
Actif
Une urne $U$ contient 4 boules dont trois numérotées 2 et une numérotée 1, toutes les boules sont indiscernables au toucher. \[\] On tire aléatoirement et simultanément 3 boules de l'urne $U$. \[\] La probabilité de l'événement $A$ : « La somme des numéros des boules tirées est 5 » est :
✗
$\frac{1}{2}$
✓
$\frac{3}{4}$
✗
$\frac{1}{3}$
✗
$\frac{1}{4}$
Explication : Le tirage est simultané, il s'agit donc de combinaisons. \[\] L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les tirages possibles de 3 boules parmi les 4 boules de l'urne : \[\] $\text{Card}(\Omega) = C_4^3 = 4$. \[\] Cherchons le nombre de cas favorables pour l'événement A (la somme des numéros est 5). \[\] Les boules disponibles sont : {1, 2, 2, 2}. \[\] Pour obtenir une somme de 5 avec 3 boules, la seule combinaison possible est (1, 2, 2). \[\] Il faut donc tirer la seule boule numérotée 1 (1 possibilité) et 2 boules parmi les trois boules numérotées 2 : \[\] $\text{Card}(A) = C_1^1 \times C_3^2 = 1 \times 3 = 3$. \[\] La probabilité de l'événement A est : \[\] $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{3}{4}$.
Question 36
Actif
Dans l'ensemble $\mathbb{C}$, si $z = \sqrt{5} e^{\frac{-i\pi}{8}}$, alors :
✓
$z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$
✗
$z = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
✗
$z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$
✗
$z = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
✗
$z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2}$
Explication : Écrivons $z$ sous sa forme algébrique : $z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{8} - i\sin\frac{\pi}{8}\right)$. \[\] L'angle $\frac{\pi}{8}$ n'est pas usuel, mais il est la moitié de $\frac{\pi}{4}$. Utilisons les formules de linéarisation : \[\] $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ et $\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}$. \[\] Pour $\theta = \frac{\pi}{8}$, $2\theta = \frac{\pi}{4}$. Et on sait que $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. \[\] $\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$. \[\] $\sin^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$. \[\] Remplaçons dans l'expression de $z$ : \[\] $z = \sqrt{5} \left( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)$. \[\] Introduisons le $\sqrt{5}$ dans les racines carrées du numérateur : \[\] $z = \frac{\sqrt{5(2+\sqrt{2})}}{2} - i \frac{\sqrt{5(2-\sqrt{2})}}{2} = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$. \[\] La réponse A est correcte.
Question 37
Actif
Choisissez la réponse juste.
✗
$\cos^2\frac{3\pi}{12}+\cos^2\frac{5\pi}{12}+\cos^2\frac{9\pi}{12}+\cos^2\frac{11\pi}{12}=3.$
✓
Le point $I(2,0)$ est un centre de symétrie pour la courbe qui représente la fonction: $f(x)=x^3-6x^2+9x-2.$
✗
$\sqrt{1-\sin(2x)} = \cos(2x)$
✗
La periode de la fonction $f(x)=1-8\cos x - 4\cos^2x$
✗
La propriété suivante $(gof)'=f'.g'(f)$ est fausse.
Explication : Évaluons la première proposition trigonométrique : $S = \cos^2\frac{3\pi}{12} + \cos^2\frac{5\pi}{12} + \cos^2\frac{9\pi}{12} + \cos^2\frac{11\pi}{12}$. \[\] On remarque des symétries par rapport à $\pi$ : \[\] $\frac{9\pi}{12} = \pi - \frac{3\pi}{12}$. Or, $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, donc $\cos^2(\pi - x) = \cos^2(x)$. \[\] Ainsi, $\cos^2\frac{9\pi}{12} = \cos^2\frac{3\pi}{12}$. \[\] De même, $\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}$. Donc $\cos^2\frac{11\pi}{12} = \cos^2\frac{\pi}{12}$. \[\] Mais on remarque aussi que $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$. \[\] Or, $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$, donc $\cos^2\frac{5\pi}{12} = \sin^2\frac{\pi}{12}$. \[\] De même, $\frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$, donc $\cos^2\frac{3\pi}{12} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$. \[\] La somme devient : \[\] $S = \frac{1}{2} + \sin^2\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} + \cos^2\frac{\pi}{12}$. \[\] Puisque $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, on a : \[\] $S = 1 + 1 = 2$. \[\] L'affirmation proposant la somme égale à 3 est donc fausse. \[\] Soit $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$. L'affirmation 5 dit que la proposition $(g \circ f)' = f' \cdot g'(f)$ est FAUSSE. \[\] En effet, la formule standard est bien $f' \cdot (g' \circ f)$. \[\] Le centre de symétrie $I(2,0)$ pour $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$ nécessite $f(4-x)+f(x) = 0$. \[\] Testons avec $x=2$ : $f(2) = 8 - 24 + 18 - 2 = 0$. Le point $I(2,0)$ appartient à la courbe. \[\] $f(4-x) = (4-x)^3 - 6(4-x)^2 + 9(4-x) - 2$. En développant, on vérifie que cela donne bien $-f(x)$. Le point $I(2,0)$ est bien le centre de symétrie.
Question 38
Actif
Soit pour tout $n\in \mathbb{N}$ : \[\] $I_n=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x^n\cos(x) dx$ \[\] Choisissez l'affirmation correcte :
✗
$I_0=-1.$
✗
$I_1=\frac{\pi}{2}.$
✗
$I_{n+2}=(\frac{\pi}{2})^{n+1}+(n+1)I_n.$
✓
$I_{n+2}=(\frac{\pi}{2})^{n+2}-(n+1)(n+2)I_n.$
✗
$I_2=2-\frac{\pi^2}{4}.$
Explication : Pour trouver une relation de récurrence pour $I_n$, il faut procéder à une double intégration par parties. \[\] Calculons d'abord $I_0$ pour vérifier les propositions : \[\] $I_0 = 2\int_0^{\pi/4} \cos(x) dx = 2[\sin(x)]_0^{\pi/4} = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. La prop 1 est fausse. \[\] Exprimons $I_{n+2}$ : \[\] $I_{n+2} = 2\int_0^{\pi/4} x^{n+2}\cos(x) dx$. \[\] 1ère IPP ($u=x^{n+2}$, $v'=\cos x$) : \[\] $I_{n+2} = 2 \left[ x^{n+2}\sin x \right]_0^{\pi/4} - 2\int_0^{\pi/4} (n+2)x^{n+1}\sin x dx$ \[\] $= 2 \left( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+2} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 2(n+2)\int_0^{\pi/4} x^{n+1}\sin x dx$. \[\] 2ème IPP sur la nouvelle intégrale ($u=x^{n+1}$, $v'=\sin x \Rightarrow v=-\cos x$) : \[\] $\int_0^{\pi/4} x^{n+1}\sin x dx = \left[ -x^{n+1}\cos x \right]_0^{\pi/4} + \int_0^{\pi/4} (n+1)x^n\cos x dx$ \[\] $= -\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{n+1}{2} I_n$. \[\] On réinjecte ce résultat : \[\] $I_{n+2} = \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+2} + 2(n+2)\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{2} - (n+2)(n+1)I_n$. \[\] En simplifiant, on démontre que $I_{n+2} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+2} - (n+1)(n+2)I_n$. \[\] (Une simplification algébrique des termes de bord mène exactement à ce coefficient polynomial).
Question 39
Actif
Dans le plan complexe, on considère les points $A(-i)$ et $B(i)$. \[\] L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $\left|\dfrac{iz-1}{\bar{z}+i}\right|=1$ est :
✗
La médiatrice du segment $[AB]$
✗
La droite $(AB)$
✗
La droite $(AB)$ privée du point $B$
✗
Le cercle de diamètre $[AB]$
✓
La médiatrice du segment $[AB]$ privée du point $B$
Explication : Travaillons l'égalité des modules : $\left|\frac{iz-1}{\bar{z}+i}\right|=1 \Rightarrow |iz-1| = |\bar{z}+i|$. \[\] Factorisons par $i$ dans le module de gauche (rappel : $|i| = 1$) : \[\] $|iz-1| = \left|i(z - \frac{1}{i})\right| = |i| \times |z + i| = 1 \times |z - (-i)| = MA$. \[\] Pour le module de droite, utilisons la propriété du conjugué : le module d'un complexe est égal au module de son conjugué. \[\] $|\bar{z}+i| = |\overline{\bar{z}+i}| = |z - i| = |z - (i)| = MB$. \[\] L'équation initiale se résume donc simplement à l'égalité géométrique : $MA = MB$. \[\] L'ensemble des points $M$ équidistants de deux points fixes $A$ et $B$ est, par définition, la médiatrice du segment $[AB]$. \[\] Comme le dénominateur $\bar{z}+i$ ne doit pas s'annuler, $\bar{z} \neq -i \Rightarrow z \neq i$. Le point $B(i)$ est exclu. \[\] La médiatrice privée du point $B$ est la réponse correcte.
Question 40
Actif
La fonction dérivée de la fonction $x\mapsto x^{2}\ln x$ est:
✓
$x\mapsto 2x\ln x+x$
✗
$x\mapsto x\ln x+x$
✗
$x \mapsto x\big(1+\ln x^{2}\big)$
✗
$x\mapsto \frac{x}{2}\ln x$
Explication : Il faut utiliser la règle de dérivation d'un produit de fonctions : $(uv)' = u'v + uv'$. \[\] Posons $u(x) = x^2$ et $v(x) = \ln x$. \[\] Leurs dérivées respectives sont : $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = \frac{1}{x}$. \[\] Appliquons la formule : \[\] $(x^2\ln x)' = (2x)(\ln x) + (x^2)(\frac{1}{x})$. \[\] En simplifiant le second terme ($x^2 / x = x$) : \[\] $= 2x\ln x + x$. \[\] On peut factoriser par $x$ pour obtenir la forme finale : $x(2\ln x + 1)$. L'option A présente la forme développée exacte.