Maths — Concours Médecine — Questions
Concours commun Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques
Question 1
Actif
$(U_n)_{n\geq 2}$ est définie par $U_n = \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\times\cdots\times\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)$. \[\] $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(U_n)$ est égale à :
✗
1
✗
$+\infty$
✓
$\dfrac{1}{2}$
✗
la limite n'existe pas
Explication : Pour calculer la limite de ce produit, cherchons d'abord à simplifier l'expression du terme général $U_n$ en l'écrivant sous forme de produit télescopique. \[\] Considérons le terme général du produit pour un entier $k$ : \[\] $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$ \[\] Exprimons $U_n$ en regroupant les termes : \[\] $U_n = \prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{1 \times 3}{2^2} \times \frac{2 \times 4}{3^2} \times \dots \times \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$ \[\] En séparant les numérateurs et dénominateurs : \[\] $U_n = \frac{\prod_{k=2}^{n}(k-1) \times \prod_{k=2}^{n}(k+1)}{\prod_{k=2}^{n}k \times \prod_{k=2}^{n}k}$ \[\] Par télescopage, presque tous les termes s'annulent. Il ne reste que le premier terme du premier produit et le dernier terme du second produit au numérateur, et de même au dénominateur : \[\] $U_n = \frac{1 \times (n+1)}{n \times 2} = \frac{n+1}{2n}$ \[\] Pour trouver la limite en $+\infty$, il suffit de regarder les termes de plus haut degré : \[\] $\lim_{n\to+\infty} U_n = \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$. \[\] La réponse correcte est donc $\dfrac{1}{2}$.
Question 2
Actif
$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}x^k=1+x+x^2+\cdots+x^n$ \[\] L'équation réduite de la tangente à $(C)$ au point d'abscisse 1 est :
✓
$y=\frac{n(n+1)}{2}x-\frac{(n-2)(n+1)}{2}$
✗
$y=\frac{n(n-1)}{2}x-\frac{(n-2)(n+1)}{2}$
✗
$y=\frac{n(n+1)}{2}x+\frac{(n-2)(n+1)}{2}$
✗
$y=\frac{n(n-1)}{2}x-\frac{n^2-1}{2}$
✗
$y=\frac{n(n+1)}{2}x+\frac{n^2-1}{2}$
Explication : Pour déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $a=1$, nous devons utiliser la formule classique : \[\] $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, ce qui donne ici $y = f'(1)(x-1) + f(1)$. \[\] **Étape 1 : Calcul de l'ordonnée $f(1)$.** \[\] La fonction est une somme de termes : $f(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^n$. \[\] En remplaçant $x$ par 1, chaque terme de $x^1$ à $x^n$ vaut 1, et il y a $(n+1)$ termes au total (en comptant le 1 initial, qui est $x^0$) : \[\] $f(1) = 1 + 1 + \dots + 1 = n+1$. \[\] **Étape 2 : Calcul du coefficient directeur $f'(1)$.** \[\] Dérivons la fonction polynomiale terme à terme : \[\] $f'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1}$. \[\] Évaluons cette dérivée en $x=1$ : \[\] $f'(1) = 1 + 2 + 3 + \dots + n$. \[\] On reconnaît la somme des $n$ premiers entiers naturels, dont la formule est bien connue : \[\] $f'(1) = \frac{n(n+1)}{2}$. \[\] **Étape 3 : Équation de la tangente.** \[\] Remplaçons les valeurs trouvées dans l'équation : \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}(x-1) + (n+1)$ \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}x - \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2}$ \[\] Factorisons la partie constante par $\frac{n+1}{2}$ : \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}x + \frac{n+1}{2}(-n + 2)$ \[\] $y = \frac{n(n+1)}{2}x - \frac{(n-2)(n+1)}{2}$. \[\] La proposition correcte est donc la première.
Question 3
Actif
$U_{n}=\sqrt{\frac{3.4^{n}}{4^{n}+2}}$ \[\] $\text{La valeur de la limite :} \lim_{n\to +\infty} U_{n}$
✗
$\frac{\sqrt{x}}{3}$
✓
$\sqrt{3}$
✗
2
✗
$+\infty$
Explication : Pour évaluer la limite de la suite $U_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous sommes confrontés à une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$ sous la racine carrée. \[\] L'expression est : $U_n = \sqrt{\frac{3 \cdot 4^n}{4^n + 2}}$. \[\] Pour lever cette indétermination, la méthode standard consiste à factoriser par le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur, qui est ici l'exponentielle $4^n$. \[\] Factorisons le dénominateur par $4^n$ : \[\] $4^n + 2 = 4^n \left(1 + \frac{2}{4^n}\right)$. \[\] Remplaçons dans l'expression de $U_n$ et simplifions la fraction par $4^n$ : \[\] $U_n = \sqrt{\frac{3 \cdot 4^n}{4^n \left(1 + \frac{2}{4^n}\right)}} = \sqrt{\frac{3}{1 + \frac{2}{4^n}}}$. \[\] Passons maintenant à la limite. Puisque $4 > 1$, on a $\lim_{n\to+\infty} 4^n = +\infty$. \[\] Par conséquent, le quotient $\frac{2}{4^n}$ tend vers 0. \[\] Par composition des limites avec la fonction continue racine carrée : \[\] $\lim_{n\to+\infty} U_n = \sqrt{\frac{3}{1 + 0}} = \sqrt{3}$. \[\] La réponse correcte est bien $\sqrt{3}$.
Question 4
Actif
Soit $a\in\mathbb{R}^+$. \[\] Si $\displaystyle\int_0^1\frac{e^{ax}}{1+e^{ax}} dx=\frac{1}{a}$ alors $a$ est égal à :
✗
$\ln(e-1)$
✗
$2e-1$
✗
$\ln(2e+1)$
✓
$\ln(2e-1)$
✗
$2e+1$
Explication : Résolvons ce problème en calculant d'abord l'intégrale en fonction du paramètre $a$, puis en résolvant l'équation résultante. \[\] **Étape 1 : Calcul de l'intégrale $\int_0^1 \frac{e^{ax}}{1+e^{ax}} dx$.** \[\] On remarque que le numérateur $e^{ax}$ est, à un facteur multiplicatif près, la dérivée du dénominateur $1+e^{ax}$. \[\] Procédons au changement de variable $u = 1+e^{ax}$. \[\] La différentielle est $du = a e^{ax} dx$, ce qui implique que $e^{ax} dx = \frac{1}{a} du$. \[\] Adaptions les bornes : pour $x=0$, $u=1+e^0=2$ ; pour $x=1$, $u=1+e^a$. \[\] L'intégrale devient : \[\] $\int_2^{1+e^a} \frac{1}{a} \frac{du}{u} = \frac{1}{a} [\ln(u)]_2^{1+e^a} = \frac{1}{a} (\ln(1+e^a) - \ln(2))$. \[\] En utilisant les propriétés du logarithme, on obtient : $\frac{1}{a} \ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right)$. \[\] **Étape 2 : Résolution de l'équation.** \[\] L'énoncé impose que cette intégrale soit égale à $\frac{1}{a}$. On a donc : \[\] $\frac{1}{a} \ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right) = \frac{1}{a}$. \[\] Puisque $a \in \mathbb{R}^+$, on peut simplifier par $\frac{1}{a}$ : \[\] $\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right) = 1$. \[\] En composant par la fonction exponentielle : \[\] \frac{1+e^a}{2} = e^1 = e \[\] $1+e^a = 2e \Rightarrow e^a = 2e - 1$. \[\] Finalement, en composant par la fonction logarithme népérien : \[\] $a = \ln(2e - 1)$.
Question 5
Actif
Choisissez la réponse juste :
✗
la solution de l'équation différentielle : $y''-2y'+8y=0$ telle que $y(0)=1$ et $y'(0)=2$ est $y(x)=e^{-2x}+2e^{4x}$
✗
Le nombre $(e^{i \theta})^{m} \text{ avec } m\in\mathbb{N} \text{ et } \theta\in\mathbb{R}$ est égale à : $\cos(\theta^{m})+i\sin(\theta^{m})$
✗
Le nombre $(e^{i \theta})^{m} \text{ avec } m\in\mathbb{N} \text{ et } \theta\in\mathbb{R}$ est égale à : $m[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]$
✓
L'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace tel que : $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z+3=0$ est une sphère.
✗
L'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace tel que : $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z+3=0$ est vide.
Explication : Analysons méthodiquement chaque proposition pour débusquer l'affirmation correcte. \[\] **Proposition A :** Vérifions si la fonction $y(x) = e^{-2x} + 2e^{4x}$ satisfait les conditions initiales. \[\] Évaluons $y(0)$ : $y(0) = e^0 + 2e^0 = 1 + 2 = 3$. \[\] L'énoncé exige $y(0) = 1$. Puisque $3 \neq 1$, la proposition A est immédiatement éliminée sans même vérifier l'équation différentielle. \[\] **Propositions B et C :** Ces formules concernent la puissance d'un nombre complexe. La célèbre formule de Moivre stipule que : \[\] $(e^{i\theta})^m = (\cos\theta + i\sin\theta)^m = \cos(m\theta) + i\sin(m\theta)$. \[\] Les propositions B (qui propose $\theta^m$) et C (qui propose $m[\dots]$) contredisent fondamentalement cette identité algébrique. Elles sont fausses. \[\] **Propositions D et E :** Il s'agit d'identifier la nature de l'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant l'équation cartésienne : \[\] $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z + 3 = 0$. \[\] Mettons cette équation sous forme canonique en complétant les carrés : \[\] $(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 + 2z + 1) - 1 + 3 = 0$ \[\] $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 - 6 + 3 = 0$ \[\] $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 3$. \[\] Cette équation est de la forme $(x-x_\Omega)^2 + (y-y_\Omega)^2 + (z-z_\Omega)^2 = R^2$ avec $R^2 = 3 > 0$. \[\] Il s'agit indiscutablement de l'équation d'une sphère de centre $\Omega(1, -2, -1)$ et de rayon $R = \sqrt{3}$. \[\] La proposition D est donc vraie, ce qui rend logiquement la proposition E fausse.
Question 6
Actif
Sur un plan complexe, on définit : $\Omega$ d'affixe $\omega=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$, $M$ d'affixe $z$ et $M'$ d'affixe $z'=(1+i\sqrt{3})z+i$. \[\] Une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})$ est :
✗
$\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$
✓
$\dfrac{\pi}{3} [2\pi]$
✗
$-\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$
✗
$-\dfrac{\pi}{3} [2\pi]$
✗
$\dfrac{\pi}{6} [2\pi]$
Explication : Dans le plan complexe, l'angle orienté entre deux vecteurs $\overrightarrow{\Omega M}$ et $\overrightarrow{\Omega M'}$ est donné par l'argument du quotient de leurs affixes respectives : \[\] $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) \equiv \arg\left(\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right) [2\pi]$. \[\] Pour trouver cet angle, cherchons à exprimer la transformation de $M$ vers $M'$ sous la forme géométrique $z' - \omega = k \cdot e^{i\theta}(z - \omega)$. \[\] Remplaçons l'expression de $z'$ donnée par l'énoncé dans le numérateur : \[\] $z' - \omega = (1 + i\sqrt{3})z + i - \omega$. \[\] Sachant que $\omega = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, substituons cette valeur : \[\] $z' - \omega = (1 + i\sqrt{3})z + i - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = (1 + i\sqrt{3})z + i + \frac{\sqrt{3}}{3}$. \[\] L'astuce classique ici est de forcer la factorisation par $(1 + i\sqrt{3})$ pour faire apparaître le terme $(z - \omega)$ : \[\] Développons $(1 + i\sqrt{3})(-\omega)$ pour vérifier : \[\] $(1 + i\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + i\frac{3}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + i$. \[\] On constate avec joie que le terme constant correspond exactement à ce développement ! \[\] Ainsi, $z' - \omega = (1 + i\sqrt{3})z + (1 + i\sqrt{3})(-\omega) = (1 + i\sqrt{3})(z - \omega)$. \[\] On peut maintenant isoler le quotient : \[\] $\frac{z' - \omega}{z - \omega} = 1 + i\sqrt{3}$. \[\] L'angle cherché est donc l'argument de ce nombre complexe. Calculons son module : \[\] $|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. \[\] Et son argument $\theta$ vérifie $\cos\theta = 1/2$ et $\sin\theta = \sqrt{3}/2$, ce qui correspond à l'angle fondamental $\dfrac{\pi}{3}$. \[\] Une mesure de l'angle est bien $\dfrac{\pi}{3} [2\pi]$.
Question 7
Actif
Soient les plans $P:x-y-z+2=0$ et $P':x+z-2=0$ \[\] et la droite $(\Delta)$ : \[\] $$\begin{cases} x = t + 1 \\ y = 2t + 2 \\ z = 1 - t \end{cases}$$
✓
$(\Delta)\subset P$
✗
$(\Delta)\perp P$
✗
$(\Delta)\cap P=\emptyset$
✗
$(\Delta)\cap P'=\emptyset$
✗
$(\Delta)\perp P'$
Explication : Pour déterminer la position relative de la droite $(\Delta)$ et du plan $P$, nous devons procéder en deux étapes : vérifier le parallélisme, puis tester l'appartenance d'un point. \[\] **Étape 1 : Étude du parallélisme à l'aide des vecteurs.** \[\] Le système paramétrique de la droite $(\Delta)$ nous donne directement les coordonnées de son vecteur directeur $\vec{u}$, en lisant les coefficients du paramètre $t$ : \[\] $\vec{u}(1, 2, -1)$. \[\] L'équation cartésienne du plan $P : x - y - z + 2 = 0$ nous donne son vecteur normal $\vec{n}$, en lisant les coefficients de $x, y$ et $z$ : \[\] $\vec{n}(1, -1, -1)$. \[\] Calculons le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{n}$ pour vérifier si ces vecteurs sont orthogonaux : \[\] $\vec{u} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$. \[\] Le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan. Ceci prouve de manière irréfutable que la droite $(\Delta)$ est parallèle au plan $P$. \[\] À ce stade, deux cas de figure sont possibles : soit la droite est strictement parallèle au plan ($(\Delta) \cap P = \emptyset$), soit elle est entièrement incluse dans le plan ($(\Delta) \subset P$). \[\] **Étape 2 : Test d'inclusion d'un point.** \[\] Choisissons un point arbitraire sur la droite $(\Delta)$. En fixant $t = 0$ dans le système paramétrique, on obtient le point $A(1, 2, 1)$. \[\] Remplaçons les coordonnées de $A$ dans l'équation cartésienne du plan $P$ pour voir s'il lui appartient : \[\] $x_A - y_A - z_A + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = -2 + 2 = 0$. \[\] L'équation est satisfaite, donc le point $A$ appartient au plan $P$. \[\] Puisque la droite $(\Delta)$ est parallèle au plan et qu'elle a au moins un point en commun avec lui, elle est intégralement contenue dans ce plan. \[\] La proposition correcte est donc $(\Delta) \subset P$.
Question 8
Actif
Dans l'espace, $A(1;2;3)$ et $B(2;0;1)$. \[\] L'ensemble des points $M(x;y;z)$ équidistants de $A$ et $B$ est :
✗
Le plan : $x+y+z=6$
✓
Le plan : $2x-4y-4z=-9$
✗
Le plan : $2x-4y-4z=9$
✗
La droite : $\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-4y-4z=-9 \end{cases}$
✗
Autre réponse
Explication : L'ensemble des points équidistants de deux points $A$ et $B$ est le plan médiateur du segment $[AB]$. \[\] Traduisons l'équidistance analytiquement : $MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2$ \[\] $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-2)^2 + y^2 + (z-1)^2$ \[\] On développe les identités remarquables : \[\] $x^2-2x+1 + y^2-4y+4 + z^2-6z+9 = x^2-4x+4 + y^2 + z^2-2z+1$ \[\] On simplifie les termes au carré ($x^2, y^2, z^2$) : \[\] $-2x-4y-6z+14 = -4x-2z+5$ \[\] On regroupe tous les termes pour obtenir l'équation cartésienne : \[\] $-2x + 4x - 4y - 6z + 2z + 14 - 5 = 0$ \[\] $2x - 4y - 4z + 9 = 0 \Rightarrow 2x - 4y - 4z = -9$ \[\] Le plan médiateur a pour équation $2x-4y-4z=-9$.
Question 9
Actif
Soit $I_n = \dfrac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$. \[\] La valeur de la limite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n$ est :
✗
1
✗
2
✓
$+\infty$
Explication : Pour calculer la limite de $I_n$ en $+\infty$, réécrivons l'expression pour lever l'indétermination : \[\] $I_n = \frac{ne^{n+1}}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{n}{(n+1)^2} e^{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}$ \[\] On sait que $\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{(n+1)^2} = 0$, mais nous faisons face à une forme indéterminée de type $0 \times \infty$ avec le facteur $e^{n+1}$. \[\] Écrivons plutôt le premier terme ainsi : \[\] $I_n = \frac{n}{n^2(1+1/n)^2} e^{n+1} = \frac{1}{n(1+1/n)^2} e^{n+1}$ \[\] Par les théorèmes de croissances comparées, la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction puissance en l'infini, c'est-à-dire $\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{n+1}}{n} = +\infty$. \[\] Puisque le facteur multiplicatif $\frac{1}{(1+1/n)^2}$ tend vers 1, la limite globale du produit est $+\infty$. \[\] Le second terme $\frac{1}{(n+1)^2}$ tendant vers 0, on conclut par somme des limites : \[\] $\lim_{n\to+\infty} I_n = +\infty$.
Question 10
Actif
Soit $h$ la fonction numérique définie sur $IR$ et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé. \[\] Le point $\Omega(1,2)$ est un centre de symétrie pour $(C)$ si $(\forall x \in IR)$ on a:
✗
$h(x) = 2x$;
✓
$h(2-x)+h(x)=4$;
✗
$h(2-x)=-h(x);$
✗
$h(1-x)=2-h(x) $
✗
$h(-x)=-h(x).$
Explication : Le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie pour la courbe $(C)$ d'une fonction $h$ définie sur $D_h$ si et seulement si pour tout $x \in D_h$ : \[\] 1) $(2a-x) \in D_h$ \[\] 2) $h(2a-x) + h(x) = 2b$ \[\] Ici, le point donné est $\Omega(1,2)$, donc $a=1$ et $b=2$. \[\] La condition sur le domaine est vérifiée puisque $D_h = \mathbb{R}$, donc $\forall x \in \mathbb{R}$, $(2(1)-x) \in \mathbb{R}$. \[\] La condition algébrique devient : \[\] $h(2(1)-x) + h(x) = 2(2)$ \[\] Soit : $h(2-x) + h(x) = 4$ \[\] D'où la réponse juste c'est (B).
Question 11
Actif
Si $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de $y''+2y'+4y=0$, \[\] alors $g=2f$ est solution de :
✓
$y''+2y'+4y=0$
✗
$y''+y'+y=0$
✗
$y''+4y'+4y=0$
✗
$2y''+4y'+y=0$
✗
Autre réponse
Explication : Si $f$ est solution de l'équation différentielle $y''+2y'+4y=0$, alors on a l'égalité vraie : $f''+2f'+4f=0$. \[\] Considérons la fonction $g=2f$. Par les propriétés de la dérivation, on a : \[\] $g' = (2f)' = 2f'$ \[\] $g'' = (2f')' = 2f''$ \[\] Injectons $g$, $g'$ et $g''$ dans l'expression différentielle pour tester : \[\] $g''+2g'+4g = 2f'' + 2(2f') + 4(2f)$ \[\] On factorise par 2 : \[\] $= 2(f''+2f'+4f)$ \[\] Or, on sait que $f''+2f'+4f = 0$, donc : \[\] $g''+2g'+4g = 2 \times 0 = 0$ \[\] Donc $g$ vérifie exactement la même équation différentielle que $f$.
Question 12
Actif
Dans $\mathbb{C}$, si $\arg(iz)\equiv\dfrac{7\pi}{6} [2\pi]$ et $|z|=\sqrt{2}$, \[\] alors la partie imaginaire de $z^3$ est égale à :
✓
$0$
✗
$2\sqrt{2}$
✗
$\sqrt{2}$
✗
$-\sqrt{2}$
✗
$-2\sqrt{2}$
Explication : Utilisons les propriétés de l'argument d'un produit : \[\] $\arg(iz) = \arg(i) + \arg(z) \equiv \dfrac{7\pi}{6} [2\pi]$ \[\] On sait que $\arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$. Donc : \[\] $\dfrac{\pi}{2} + \arg(z) \equiv \dfrac{7\pi}{6} [2\pi]$ \[\] Isolons $\arg(z)$ : \[\] $\arg(z) \equiv \dfrac{7\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{7\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$ \[\] On connaît maintenant le module et l'argument de $z$, donc $z = \sqrt{2} e^{i2\pi/3}$. \[\] Pour calculer $z^3$, utilisons la forme exponentielle : \[\] $z^3 = (\sqrt{2} e^{i2\pi/3})^3 = (\sqrt{2})^3 \times (e^{i2\pi/3})^3 = 2\sqrt{2} \times e^{i2\pi}$ \[\] Puisque $e^{i2\pi} = 1$, on a $z^3 = 2\sqrt{2}$. \[\] Le nombre $z^3$ est un réel pur, sa partie imaginaire est donc nulle : $Im(z^3)=0$.
Question 13
Actif
L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{-x^{2}}}dx$ est égale à :
✗
$\sqrt{\ln\left(\frac{1+e}{2}\right)}$
✗
$\ln \sqrt{1+e}$
✗
$\ln (1+e)$
✓
$\ln \sqrt{\frac{1+e}{2}}$
✗
$\sqrt{\ln (1+e)}$
Explication : On utilise le changement de variable en posant $u=x^2$. \[\] Pour les bornes : si $x=0$, alors $u=0$. Si $x=1$, alors $u=1$. \[\] Pour la différentielle : $du=2xdx$, ce qui donne $xdx = \frac{1}{2}du$. \[\] L'intégrale devient : \[\] $\int_{0}^{1}\frac{x}{1+e^{-x^2}}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{2} \frac{du}{1+e^{-u}}$ \[\] Multiplions le numérateur et le dénominateur par $e^u$ pour faire disparaître l'exposant négatif : \[\] $= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{e^u}{e^u(1+e^{-u})}du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{e^u}{e^u+1}du$ \[\] On reconnaît la forme $\frac{v'}{v}$ dont une primitive est $\ln|v|$. Ici $v(u) = e^u+1 > 0$. \[\] $= \frac{1}{2}\left[\ln(e^u+1)\right]_{0}^{1}$ \[\] Évaluons aux bornes : \[\] $= \frac{1}{2}(\ln(e^1+1) - \ln(e^0+1)) = \frac{1}{2}(\ln(e+1) - \ln(2))$ \[\] Par les propriétés du logarithme $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ et $n\ln(a) = \ln(a^n)$ : \[\] $= \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+e}{2}\right) = \ln\left[\left(\frac{1+e}{2}\right)^{1/2}\right] = \ln\sqrt{\frac{1+e}{2}}$
Question 14
Actif
Soit $x\in\mathbb{R}^+$. \[\] Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}=2022$, alors $x$ est égal à :
✓
$\dfrac{7}{29}\ln2022$
✗
$2022\ln\left(\dfrac{7}{29}\right)$
✗
$2022\ln\left(\dfrac{29}{7}\right)$
✗
$\dfrac{29}{7}\ln2022$
✗
Autre réponse
Explication : On cherche la limite de $\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}$ en $+\infty$. \[\] Posons $u=\frac{x}{7n}$. Quand $n\to+\infty$, $u\to 0$. \[\] On utilise la limite de référence $\lim_{u\to 0} (1+u)^{1/u} = e$. \[\] Transformons l'expression pour faire apparaître cette forme : \[\] $\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n} = \left[\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{\frac{7n}{x}}\right]^{\frac{29x}{7}}$ \[\] Le terme entre crochets tend vers $e$. Donc l'expression globale tend vers $e^{\frac{29x}{7}}$. \[\] On applique la condition de l'énoncé : \[\] $e^{\frac{29x}{7}} = 2022$ \[\] On compose par la fonction $\ln$ : \[\] $\frac{29x}{7} = \ln 2022$ \[\] On isole $x$ : \[\] $x = \frac{7}{29}\ln 2022$
Question 15
Actif
On admet que $f$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, \[\] et que $f(1/2) = 1/2 - 3\ln(2)$ et $f(1) > 0$. \[\] L'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle :
✗
$]0,\frac{1}{2}[$
✓
$]\frac{1}{2},1[$
✗
$]1,e[$
✗
$]0,+\infty[$
Explication : La fonction $f$ est continue et strictement monotone (croissante) sur son domaine de définition. \[\] Pour prouver l'existence d'une racine unique (où $f(x) = 0$) sur un intervalle donné, il faut appliquer le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires). \[\] Évaluons $f$ aux bornes de l'intervalle $[1/2, 1]$ : \[\] * $f(1/2) = 1/2 - 3\ln(2)$. Puisque $\ln(2) \approx 0.69$, on a $3\ln(2) \approx 2.07$, donc $f(1/2) < 0$. \[\] * $f(1) > 0$ (par hypothèse de l'énoncé). \[\] Puisque la fonction passe d'une valeur strictement négative à une valeur strictement positive de façon continue et strictement croissante entre $x = 1/2$ et $x = 1$, elle coupe l'axe des abscisses exactement une fois. \[\] La solution unique se trouve donc dans l'intervalle ouvert $]1/2, 1[$.
Question 16
Actif
$f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f(2x-1)=x^2+3x$. \[\] Alors $f(1)+f'(1)$ est égal à :
✗
$\dfrac{5}{2}$
✗
$4$
✗
$\dfrac{9}{2}$
✓
$\dfrac{13}{2}$
✗
Autre réponse
Explication : On dispose de la relation : $f(2x-1) = x^2+3x$. \[\] Commençons par trouver $f(1)$. Pour cela, il faut que l'argument de $f$ soit égal à 1 : \[\] $2x-1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ \[\] Remplaçons $x$ par 1 dans l'équation initiale : \[\] $f(1) = 1^2 + 3(1) = 4$ \[\] Maintenant, cherchons $f'(1)$. Dérivons chaque membre de l'égalité initiale par rapport à $x$ (attention à la dérivation des fonctions composées $(f(u))' = u' \cdot f'(u)$) : \[\] $(2x-1)' \cdot f'(2x-1) = (x^2+3x)'$ \[\] $2 f'(2x-1) = 2x+3$ \[\] Pour évaluer $f'$ en 1, on pose à nouveau $x=1$ : \[\] $2 f'(1) = 2(1) + 3 = 5$ \[\] $f'(1) = \frac{5}{2}$ \[\] Finalement, calculons la somme demandée : \[\] $f(1) + f'(1) = 4 + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} + \frac{5}{2} = \frac{13}{2}$
Question 17
Actif
Soit $h$ la fonction définie par: $h(x)=\frac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x\neq 1$ et $h(1)=a$; $(a \in IR)$. \[\] La valeur de $a$ pour que $h$ soit continue en $x=1$ est:
✓
$-\pi$
✗
$\pi$
✗
$\sqrt{2}$
✗
$\frac{\pi}{2}$
✗
$\frac{1}{2}$
Explication : Pour que la fonction $h$ soit continue en $1$, il faut que sa limite quand $x$ tend vers $1$ soit égale à son image en $1$, c'est-à-dire : $\lim_{x\to 1} h(x) = h(1) = a$. \[\] Évaluons la limite : $\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{x-1}$. C'est une forme indéterminée $0/0$. \[\] Faisons un changement de variable pour se ramener à zéro. Posons $X = x - 1$. \[\] Ainsi, $x = X + 1$. Quand $x \to 1$, on a $X \to 0$. \[\] Remplaçons dans le numérateur : \[\] $\sin(\pi x) = \sin(\pi(X+1)) = \sin(\pi X + \pi) = -\sin(\pi X)$ \[\] L'expression devient : \[\] $\lim_{X\to 0} \frac{-\sin(\pi X)}{X}$ \[\] Pour utiliser la limite de référence $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, multiplions et divisons par $\pi$ : \[\] $= \lim_{X\to 0} -\pi \frac{\sin(\pi X)}{\pi X} = -\pi \times 1 = -\pi$ \[\] Pour que $h$ soit continue, on doit avoir $a = -\pi$.
Question 18
Actif
Dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(-1,2,0)$, $B(3,0,4)$ et $C(-2,1,2)$. \[\] Choisissez l'affirmation correcte parmi les propositions suivantes :
✗
La surface du triangle $ABC$ est $5\sqrt{2}$.
✗
La surface du triangle $ABC$ est $5\sqrt{3}$.
✗
la longueur de hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ est $\sqrt{5}$.
✓
la longueur de hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ est $\sqrt{6}$.
✗
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Explication : Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour vérifier la surface et la hauteur : \[\] $\vec{AB} = (3 - (-1), 0 - 2, 4 - 0) = (4, -2, 4)$ \[\] $\vec{AC} = (-2 - (-1), 1 - 2, 2 - 0) = (-1, -1, 2)$ \[\] Calculons le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ : \[\] $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(2) - (4)(-1) \\ (4)(-1) - (4)(2) \\ (4)(-1) - (-2)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}$ \[\] La surface du triangle $ABC$ est donnée par la formule $S = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|$. \[\] $S = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + (-12)^2 + (-6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 36} = \frac{\sqrt{180}}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}$ \[\] Les propositions sur la surface ($5\sqrt{2}$ et $5\sqrt{3}$) sont donc fausses. \[\] Vérifions la longueur de la hauteur $h_A$ issue du point $A$. La surface se calcule aussi par la formule classique $S = \frac{1}{2} BC \times h_A$. \[\] Calcul de la distance $BC$ via le vecteur $\vec{BC} = C - B = (-5, 1, -2)$ : \[\] $BC = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$ \[\] Isolons la hauteur : \[\] $h_A = \frac{2S}{BC} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{30}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ \[\] L'affirmation 'la longueur de hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ est $\sqrt{6}$' est rigoureusement exacte.
Question 19
Actif
L'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx$ est égale à :
✗
$0$
✗
$\ln(2)+1$
✓
$\ln(2)$
✗
$1$
✗
$-\ln(2)$
Explication : On se rappelle l'identité trigonométrique du sinus de l'angle double : $\sin 2x = 2\sin x\cos x$. \[\] Posons le changement de variable $u = \sin^2 x$. \[\] La différentielle est $du = 2\sin x\cos x dx = \sin 2x dx$. \[\] Adaptions les bornes d'intégration : \[\] Si $x = 0$, $u = \sin^2(0) = 0$. \[\] Si $x = \pi/2$, $u = \sin^2(\pi/2) = 1^2 = 1$. \[\] L'intégrale devient une fonction rationnelle très simple : \[\] $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx = \int_0^1\frac{1}{1+u} du$ \[\] La primitive de $\frac{1}{1+u}$ est $\ln|1+u|$. \[\] $= \left[\ln(1+u)\right]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - 0 = \ln 2$
Question 20
Actif
Dans $\mathbb{C}$, si $|z|-z=3-i\sqrt{3}$, \[\] alors $|z|$ est égal à :
✗
$0$
✓
$2$
✗
$2\sqrt{3}$
✗
$3\sqrt{2}$
✗
$7\sqrt{2}$
Explication : Soit $z$ un nombre complexe. Posons sa forme algébrique $z=a+ib$, avec $a,b \in \mathbb{R}$. \[\] Son module est défini par $|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}$. \[\] L'équation $|z|-z = 3-i\sqrt{3}$ se traduit par : \[\] $r - (a+ib) = 3 - i\sqrt{3}$ \[\] $(r-a) - ib = 3 - i\sqrt{3}$ \[\] Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient le système : \[\] Partie réelle : $r - a = 3 \Rightarrow a = r - 3$ \[\] Partie imaginaire : $-b = -\sqrt{3} \Rightarrow b = \sqrt{3}$ \[\] On réinjecte ces expressions de $a$ et $b$ dans la définition du module au carré ($r^2 = a^2+b^2$) : \[\] $r^2 = (r-3)^2 + (\sqrt{3})^2$ \[\] On développe l'identité remarquable : \[\] $r^2 = r^2 - 6r + 9 + 3$ \[\] Les $r^2$ s'annulent de part et d'autre : \[\] $0 = -6r + 12 \Rightarrow 6r = 12 \Rightarrow r = 2$ \[\] Le module $|z|$ vaut donc 2.